Riemanns xi-funktion

Riemanns xi-funktion ξ ( s ) {\displaystyle \xi (s)} i det komplexa planet. Färgen på en punkt s {\displaystyle s} kodar värdet av funktionen. Mörkare färger anger värden närmare noll och nyans anger värdets argument.

Inom matematiken är Riemanns xi-funktion, uppkallad efter Bernhard Riemann, en variant av den mer kända Riemanns zetafunktion.

Definition

Riemanns xi-funktion definieras som

ξ ( s ) = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 Γ ( 1 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}

för s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } och där ζ(s) är Riemanns zetafunktion. Funktionalekvationen för xi är

ξ ( 1 − s ) = ξ ( s ) . {\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}

Speciella värden

För positiva heltal n är

ξ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 1 ( 2 n ) ! B 2 n 2 2 n − 1 π n ( 2 n 2 − n ) ( n − 1 ) ! {\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}

där Bn är det n-te Bernoullitalet. Exempelvis är

ξ ( 2 ) = π 6 . {\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}.}

Några andra speciella värden är

ξ ( 0 ) = ξ ( 1 ) = − ζ ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}}}
ξ ( 1 / 2 ) = − ζ ( 1 / 2 ) ⋅ Γ ( 1 / 4 ) 8 π 1 4 = 0 , 4971207781... {\displaystyle \xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}}}}=0,4971207781...} (talföljd A114720 i OEIS)
ξ ( 3 ) = 3 2 π ζ ( 3 ) {\displaystyle \xi (3)={\frac {3}{2\pi }}\,\zeta (3)}
ξ ( 5 ) = 15 2 π 2 ζ ( 5 ) . {\displaystyle \xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}}}\,\zeta (5).}

Serierepresentation

Xi-funktionen har serierepresentationen

d d z ln ⁡ ξ ( − z 1 − z ) = ∑ n = 0 ∞ λ n + 1 z n {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}

där

λ n = 1 ( n − 1 ) ! d n d s n [ s n − 1 log ⁡ ξ ( s ) ] | s = 1 = ∑ ρ [ 1 − ( 1 − 1 ρ ) n ] {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}

där summan går över de icke-triviala rötterna ρ av zetafunktionen, ordnade enligt | ℑ ( ρ ) | {\displaystyle |\Im (\rho )|} .

Denna expansion har en viktig roll i Lis kriterium som säger att Riemannhypotesen är ekvivalent med att λn > 0 för alla positiva n.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann Xi function, 17 december 2013.
  • Weisstein, Eric W., "Xi-Function", MathWorld. (engelska)
  • Keiper, J.B. (1992). ”Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): sid. 765–773. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.