Pluskonstruktionen

Inom matematiken är pluskonstruktionen en metod för att förenkla fundamentalgruppen av ett rum utan att förändra dess homologi- och kohomologigrupper. Den introducerades av Kervaire (1969) och användes av Daniel Quillen till att definiera algebraisk K-teori.

Den vanligaste användningen av pluskonstruktionen är i just i algebraisk K-teori. Om ${\displaystyle R}$ är en ring med enhet betecknar vi med ${\displaystyle GL_{n}(R)}$ gruppen av inverterbara ${\displaystyle n}$-by-${\displaystyle n}$-matriser med element i ${\displaystyle R}$. ${\displaystyle GL_{n}(R)}$ kan inbäddas i ${\displaystyle GL_{n+1}(R)}$ genom att sätta ${\displaystyle 1}$ i diagonalen nollor vid andra tomma ställen. Det direkta gränsvärdet av dessa grupper via dessa avbildningar betecknas med ${\displaystyle GL(R)}$ och dess klassificerande rum med ${\displaystyle BGL(R)}$. Pluskonstruktionen kan sedan appliceras till den perfekta normala undergruppen ${\displaystyle E(R)}$ av ${\displaystyle GL(R)=\pi _{1}(BGL(R))}$, genererad av matriserna som skiljer sig från enhetsmatrisen i bara en icke-diagonal position. För ${\displaystyle i>0}$ är den ${\displaystyle n}$-te homotopigruppen av det resulterande rummet, ${\displaystyle BGL(R)^{+}}$, den ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle K}$-gruppen av ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle K_{n}(R)}$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Plus construction, 24 februari 2015.

• Adams (1978), Infinite loop spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, s. 82–95, ISBN 0-691-08206-5 
• Kervaire, Michel A. (1969), ”Smooth homology spheres and their fundamental groups”, Transactions of the American Mathematical Society 144: 67–72, doi:10.2307/1995269, ISSN 0002-9947 
• Quillen, Daniel (1971), ”The Spectrum of an Equivariant Cohomology Ring: I”, Annals of Mathematics. Second Series 94 (3): 549–572, doi:10.2307/1970770 .
• Quillen, Daniel (1971), ”The Spectrum of an Equivariant Cohomology Ring: II”, Annals of Mathematics. Second Series 94 (3): 573–602, doi:10.2307/1970771 .
• Quillen, Daniel (1972), ”On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field”, Annals of Mathematics. Second Series 96 (3): 552–586, doi:10.2307/1970825 .

Externa länkar

• Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ”Pluskonstruktionen”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104