Pascalmatris

Pascalmatris är inom matematiken en oändlig matris innehållande binomialkoefficienter, liknande Pascals triangel. Pascalmatriser kan uttryckas på tre olika sätt; som höger- eller vänstertriangulära matriser eller som en symmetrisk matris. Om man begränsar Pascalmatrisen till en matris av format 5×5 får man då dessa representationer:

Högertriangulär: ${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$  Vänstertriangulär: ${\displaystyle L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,}$  Symmetrisk: ${\displaystyle S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.}$

Matrisen ${\displaystyle S_{n}}$ är helt enkelt en matris där kolonnerna är kolonnerna i Pascals triangel, men första elementet i en kolonn är det första nollskilda elementet i triangeln för motsvarande kolonn.

Man kan visa att ${\displaystyle S_{n}=L_{n}U_{n}}$, se att spåret av de två första matriserna är: ${\displaystyle \operatorname {tr} \,U_{n}=\operatorname {tr} \,L_{n}=n\,}$, samt att ${\displaystyle \det S_{n}=\det L_{n}\det U_{n}=1\,}$.

Man kan också se att ${\displaystyle U_{n}^{T}=L_{n}}$, där ${\displaystyle T}$ står för transponat.

Konstruktion

Pascalmatriser kan fås genom att ta matrisexponentialen av en speciell matris med särskilda element antingen i diagonalen över eller under huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser, där elementet på rad ${\displaystyle k}$ är ${\displaystyle k}$. Exempel:

${\displaystyle L_{6}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&1&0&0&0\\1&3&3&1&0&0\\1&4&6&4&1&0\\1&5&10&10&5&1\end{pmatrix}}}$

och ${\displaystyle U_{6}}$ konstrueras likartat, men matrisen som man utgår ifrån har elementen i superdiagonalen. Man kan sedan konstruera ${\displaystyle S_{6}=L_{6}U_{6}}$. Konstruktionen gäller för alla ${\displaystyle n}$, observera dock att ${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{AB}}$ i allmänhet inte gäller då ${\displaystyle A,B}$ är matriser, så man måste räkna ut två matrisexponentialer om man vill veta ${\displaystyle S_{n}}$, eller utnyttja att ${\displaystyle U_{n}=L_{n}^{T}}$.