Multipel-zetafunktionen

Inom matematiken är multipel-zetafunktionerna generaliseringar av Riemanns zetafunktion definierade som

ζ ( s 1 , … , s k ) = ∑ n 1 > n 2 > ⋯ > n k > 0   1 n 1 s 1 ⋯ n k s k = ∑ n 1 > n 2 > ⋯ > n k > 0   ∏ i = 1 k 1 n i s i , {\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}

och konvergerar då Re(s1) + ... + Re(si) > i för alla i. Såsom Riemanns zeta-funktion kan multipel-zetafunktionen fortsättas analytisk till en meromorfisk funktion. Då s1, ..., sk är alla positiva heltal (med s1 > 1) kallas summorna ofta för multipel-zetavärden eller Eulersummor.

Om samma argument förekommer flera gånger brukar man skriva det kompaktare, exempelvis

ζ ( 2 , 1 , 2 , 1 , 3 ) = ζ ( { 2 , 1 } 2 , 3 ) . {\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).}

Två parametrar

Med två parametrar är (där s > 1 och n,m heltal)

ζ ( s , t ) = ∑ n > m ≥ 1   1 n s m t = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ∑ m = 1 n − 1 1 m t = ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) s ∑ m = 1 n 1 m t {\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}
ζ ( s , t ) = ∑ n = 1 ∞ H n , t ( n + 1 ) s {\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}} där H n , t {\displaystyle H_{n,t}} är de generaliserade harmoniska talen.

En identitet av Euler:

∑ n = 1 ∞ H n ( n + 1 ) 2 = ζ ( 2 , 1 ) = ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\!}

där Hn är de harmoniska talen.

Speciella värden av dubbla zetafunktionen med s > 0 och jämnt, t > 1 och udda, s+t:=2N+1, definiera ζ(0) = 0:

ζ ( s , t ) = ζ ( s ) ζ ( t ) + 1 2 [ ( s + t s ) − 1 ] ζ ( s + t ) − ∑ r = 1 N − 1 [ ( 2 r s − 1 ) + ( 2 r t − 1 ) ] ζ ( 2 r + 1 ) ζ ( s + t − 1 − 2 r ) . {\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r).}

Eulers reflektionsformel

Multipel-zetafunktionen satisfierar Eulers reflektionsformel:

ζ ( a , b ) + ζ ( b , a ) = ζ ( a ) ζ ( b ) − ζ ( a + b ) {\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)} för a , b > 1 {\displaystyle a,b>1}

Man kan även bevisa att:[1]

ζ ( a , b , c ) + ζ ( a , c , b ) + ζ ( b , a , c ) + ζ ( b , c , a ) + ζ ( c , a , b ) + ζ ( c , b , a ) = ζ ( a ) ζ ( b ) ζ ( c ) + 2 ζ ( a + b + c ) − ζ ( a ) ζ ( b + c ) − ζ ( b ) ζ ( a + c ) − ζ ( c ) ζ ( a + b ) {\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)} för a , b , c > 1. {\displaystyle a,b,c>1.}

Andra resultat

För positiva heltal a , b , … , k {\displaystyle a,b,\dots ,k} :

∑ n = 2 ∞ ζ ( n , k ) = ζ ( k + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)} eller mer allmänt
∑ n = 2 ∞ ζ ( n , a , b , … , k ) = ζ ( a + 1 , b , … , k ) {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}
lim k → ∞ ζ ( n , k ) = ζ ( n ) − 1 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}
ζ ( a , a ) = 1 2 [ ( ζ ( a ) ) 2 − ζ ( 2 a ) ] {\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}
ζ ( a , a , a ) = 1 6 ( ζ ( a ) ) 3 + 1 3 ζ ( 3 a ) − 1 2 ζ ( a ) ζ ( 2 a ) . {\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a).}

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiple zeta function, 23 december 2013.

Allmänna källor

  • Tornheim, Leonard (1950). ”Harmonic double series”. American Journal of Mathematics 72: sid. 303–314. doi:10.2307/2372034. ISSN 0002-9327. 
  • Mordell, Louis J. (1958). ”On the evaluation of some multiple series”. Journal of the London Mathematical Society 33: sid. 368–371. doi:10.1112/jlms/s1-33.3.368. ISSN 0024-6107. 
  • Apostol, Tom M.; Vu, Thiennu H. (1984). ”Dirichlet series related to the Riemann zeta function”. Journal of Number Theory 19 (1): sid. 85–102. doi:10.1016/0022-314X(84)90094-5. ISSN 0022-314X. 
  • Crandall, Richard E.; Buhler, Joe P. (1994). ”On the evaluation of Euler Sums”. Experimental Mathematics 3 (4): sid. 275. http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/3/3.html. 
  • Borwein, Jonathan M.; Girgensohn, Roland (1996). ”Evaluation of Triple Euler Sums”. El. J. Combinat. 3 (1): sid. #R23. http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r23. 
  • Flajolet, Philippe; Salvy, Bruno (1998). ”Euler Sums and contour integral representations”. Exp. Math. 7. http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/7/7.html. 
  • Zhao, Jianqiang (1999). ”Analytic continuation of multiple zeta functions”. Proceedings of the American Mathematical Society 128 (5): sid. 1275–1283. doi:10.1090/S0002-9939-99-05398-8. 
  • Matsumoto, Kohji (2003). ”On Mordell–Tornheim and other multiple zeta-functions”. Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations. Bonner Math. Schriften. "360". Bonn: Univ. Bonn 
  • Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2008). ”The evaluation of Tornheim double sums”. https://arxiv.org/abs/0811.0557. 
  • Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2010). ”The evaluation of Tornheim double sums II”. Ramanujan J. 22: sid. 55–99. doi:10.1007/s11139-009-9181-1. 
  • Borwein, J.M.; Chan, O-Y. (2010). ”Duality in tails of multiple zeta values”. Int. J. Number Theory 6 (3): sid. 501–514. doi:10.1142/S1793042110003058. 
  • Basu, Ankur (2011). ”On the evaluation of Tornheim sums and allied double sums”. Ramanujan J. 26 (2): sid. 193–207. doi:10.1007/s11139-011-9302-5. 

Referenser

  1. ^ Broadhurst, D. J. (1996). ”On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory.”. https://arxiv.org/abs/hep-th/9604128.