Möbiusavbildning

En Möbiusavbildning eller Möbiustransformation, efter August Ferdinand Möbius, är en bijektiv konform avbildning av det utökade komplexa talplanet (komplexa talen utökade med en punkt i oändligheten) på sig självt. En Möbiusavbildning bevarar vinklar och cirklinjer (räta linjer ses som cirklar som passerar oändlighetspunkten).

En Möbiusavbildning är en rationell funktion

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

där a, b, c, d ∈ ℂ : ad - bc ≠ 0

Följande gäller generellt för denna avbildning

punkten z = -d/c avbildas på ∞
punkten z = ∞ avbildas på a/c

Villkoret ad - bc ≠ 0 är nödvändigt för att transformationen skall vara inverterbar^{[särskiljning behövs]}. Den inversa avbildningen ges av

w\mapsto {\frac {dw-b}{-cw+a}}

En Möbiusavbildning bestäms entydigt om man anger tre punkter och vilka punkter de avbildas på, enligt följande: Låt z₁, z₂ och z₃ vara de tre ursprungliga punkterna och w₁, w₂ respektive w₃ vara de punkter de skall avbildas på. Då kan avbildningen skrivas

{\frac {(z-z_{2})(z_{1}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{1}-z_{2})}}={\frac {(w-w_{2})(w_{1}-w_{3})}{(w-w_{3})(w_{1}-w_{2})}}

Spegelpunkter

Spegelpunkten till ett komplext tal z relativt en cirkel med radie r och centrum i z₀ är det tal z^* som uppfyller följande:

$z^{*}$ ligger på strålen utgående från z₀ genom z
$|z-z_{0}||z^{*}-z_{0}|=r^{2}$

Man definierar dessutom z₀^* = ∞. Om speciellt cirkeln är en linje L, så definiera z^* som det tal som ligger på normalen till L som går genom z, och som ligger lika långt från L som z, men på andra sidan. Exempelvis gäller z^* = z om l är reella tallinjen. Möbiusavbildningar överför z och dess spegelpunkt z^* relativt en cirkel C på punkter w och w’, där w’ = w^* relativt bilden av C (som är en cirkel).