Liealgebra

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket)[1][2] som skrivs [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,\,y]=xy-yx} .

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren

(1)  Bilinjäritet:
[ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}
för alla a, b ∈ {\displaystyle \in } K och alla x, y, z ∈ g {\displaystyle \in {\mathfrak {g}}} .
(2)  För alla x ∈ g {\displaystyle \in {\mathfrak {g}}} gäller:
[ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,\,x]=0}
(3)  Jacobi-identiteten:
[ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 {\displaystyle [x,\,[y,\,z]]+[y,\,[z,\,x]]+[z,\,[x,\,y]]=0}
för alla x, y, z ∈ {\displaystyle \in } g.
(4)  Antikommutativitet:
Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen [ x + y ,   x + y ] {\displaystyle [x+y,\ x+y]} och med användande av villkor (2) går det att visa att [ x ,   y ] + [ y ,   x ] = 0 {\displaystyle [x,\ y]+[y,\ x]=0} för alla element x, y i g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , vilket implicerar
[ x , y ] = − [ y , x ] {\displaystyle [x,y]=-[y,x]}

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, [ [ x , y ] , z ] {\displaystyle [[x,\,y],\,z]} behöver inte vara lika med [ x , [ y , z ] ] {\displaystyle [x,\,[y,\,z]]} . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel

Ett konkret exempel på en liealgebra är R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen [ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA} som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även

  • Kvasiliealgebra
  • Liealgebrakohomologi
  • Liebialgebra
  • Liekoalgebra
  • Liesuperalgebra
  • Ortogonal symmetrisk Liealgebra
  • Poissonalgebra

Referenser

Noter

  1. ^ "Lie bracket" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 23.
  2. ^ "Lie bracket" i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan, sid. 35. ISBN 978-91-981287-0-3.

Källor

  • Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
  • Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  • Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  • Kac, Victor G. et. al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, https://web.archive.org/web/20070131211842/http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
  • Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
  • Höglund, Joel Lie-algebror, Examensarbete, rapport 2013:16, matematiska institutionen, Uppsala universitet, http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:630755/FULLTEXT01.pdf