Laplaceoperatorn

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-07)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Laplaceoperatorn eller Laplaces operator är inom vektoranalysen en differentialoperator. Den har fått sitt namn efter Pierre Simon de Laplace. Laplaceoperatorn är lika med summan av alla andra ordningens partiella derivator av en beroende variabel. Laplaceoperatorn är en elliptisk operator med många tillämpningar inom fysiken och matematiken.

För ett skalärfält φ kan Laplaceoperatorn uttryckas div(grad φ), eller likvärdigt med hjälp av nabla-symbolen i kvadrat, ∇2:

∇ 2 ϕ = ∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )}

Samt för vektorfält F {\displaystyle \mathbf {F} } :

∇ 2 F = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ × ( ∇ × F ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}

∇2 kan även skrivas som ∆.

Operatorn förekommer, till exempel, i Laplaces ekvation.

Koordinatrepresentationer

I två dimensioner

Laplaceoperatorn i två dimensioner ges av

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}

där x och y är kartesiska koordinaterna i xy-planet.

I polära koordinater ges den av

Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = 1 r ∂ f ∂ r + ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\\&={1 \over r}{\partial f \over \partial r}+{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.\end{aligned}}}

I tre dimensioner

Laplaces operator är i kartesiska koordinater

∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} ,

i cylindriska koordinater

∇ 2 = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 1 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} ,

och i sfäriska koordinater

∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 = = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}=\\&={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}.\end{aligned}}}

d'Alemberts operator

En motsvarighet som ibland används inom relativitetsteori och i Minkowskis rumtid eller för att skriva ut vågekvationen betecknas ◻ {\displaystyle \Box } och kallas d'Alemberts operator. I 3+1-dimensionella rum (3 rumsdimensioner och 1 tidsdimension) har den formen

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}

där c är ljushastigheten och t är tidskoordinaten.

Se även