Kvotkriteriet

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-10) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Kvotkriteriet, även kallat d'Alemberts kriterium, är en sats inom matematisk analys som ger ett villkor för att en serie ska konvergera.

Låt ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ vara en talföljd. Då säger kvotkriteriet att serien

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

är absolutkonvergent, och därmed konvergent, om

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1}$

och att serien är divergent om

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1}$.

Notera att satsen inte säger något om fallet

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|=1}$.

Kvotkriteriets betydelse för studium av potensseriers ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ konvergens blir tydligt då

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{k+1}x^{k+1}}{a_{k}x^{k}}}\right|=\lim _{k\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}x\right|}$,

potensseriens konvergens kan utläsas för alla x som inte gör gränsvärdet lika med ett. Man kan visa att kvotkriteriet är ett svagare resultat än rotkriteriet.

Se även

• Konvergensradie