Inverst element

Ett inverst element är inom matematiken en speciell typ av element i en mängd med avseende på en binär operator på mängden samt ett neutralt element tillhörande mängden. Termen inverst element förkortas oftast till invers.

Om e är ett neutralt element till (S,*) och a * b = e, då kallas a för vänsterinvers till b och b kallas högerinvers till a. Om ett element x både är en vänsterinvers och en högerinvers till y, då kallas x en tvåsidig invers, eller helt enkelt en invers, till y.

Som med neutrala element är det möjligt för ett element y att ha flera vänsterinverser eller flera högerinverser. y kan till och med ha flera vänsterinverser och flera högerinverser. Om operatorn * är associativ, och y har både en höger- och en vänsterinvers, så är de lika.

Det inversa elementet används ofta för att lösa ekvationer; de enklaste fallen är:

a x = b ⇔ x = a − 1 b {\displaystyle ax=b\Leftrightarrow x=a^{-1}b} och
x a = b ⇔ x = b a − 1 {\displaystyle xa=b\Leftrightarrow x=ba^{-1}} ,

där a − 1 {\displaystyle a^{-1}} är en vänster- eller högerinvers till a i första respektive andra ekvationen.

Se även

  • Additiv invers
  • Grupp
  • Monoid
  • Kvasigrupp