Hardy–Littelwoods zetafunktionsförmodanden

Inom matematiken är Hardy–Littlewoods zetafunktion-förmodanden, uppkallade efter Godfrey Harold Hardy och John Edensor Littlewood, två förmodanden gällande avståndet mellan och densiteten av nollställena av Riemanns zetafunktion.

Låt ${\displaystyle N(T)}$ vara totala antalet nollställen och ${\displaystyle N_{0}(T)}$ totala antalet nollställen av udda ordning av funktionen ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ i intervallet ${\displaystyle (0,T]}$.

Hardy och Littlewood gjorde två förmodanden. Dessa förmodanden öppnade nya riktningar inom zetafunktionens teori.

1. För alla ${\displaystyle \varepsilon >0}$ finns det ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ så att för ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ och ${\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }}$ innehåller intervallet ${\displaystyle (T,T+H]}$ ett nollställe av udda ordning av funktionen ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$.

2. För alla ${\displaystyle \varepsilon >0}$ finns det ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ och ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ så att för ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ och ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ gäller olikheten ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$.

1942 studerade Atle Selberg problemet 2 och bevisade att för alla ${\displaystyle \varepsilon >0}$ finns det ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ och ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ sådant att för ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ och ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ gäller olikheten ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hardy–Littlewood zeta-function conjectures, 24 januari 2014.