Generaliserad integral

Definition

En integral $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ sägs vara generaliserad om $f(x)$ inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på $[a,b]$ , eller om en integrationsgräns formellt ersatts med $\infty$ eller $-\infty$ . En multipelintegral $\int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots dx_{n}$ sägs vara generaliserad om $f$ är obegränsad, odefinierad i någon del av $D$ , eller om $D$ är obegränsad.

Betydelse

Antag att $f(x)$ är definierad på intervallet $[a,b]$ . Då definieras $\int _{a}^{b}f(x)dx:=\lim _{c\rightarrow b}\left(\int _{a}^{c}f(x)dx\right)$ , $\int _{a}^{\infty }f(x)dx:=\lim _{c\rightarrow \infty }\left(\int _{a}^{c}f(x)dx\right)$ och $\int _{a}^{-\infty }f(x)dx$ analogt. Alla generaliserade integraler kan överföras till en linjärkombination av de ovanstående tre integralerna. Om $f({\bar {x}})\geq 0\forall {\bar {x}}\in D$ och $\int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}$ är generaliserad så definieras $\int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}:=\lim _{p\rightarrow \infty }\int \ldots \int _{E_{p}}fdx_{1}\ldots d_{n}$ , där $(E_{n})$ är en uttömmande svit till $D$ . Om $f$ växlar tecken på $D$ så definieras $\int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}:=\int \ldots \int _{\Omega _{+}}fdx_{1}\ldots d_{n}-\int \ldots \int _{\Omega _{-}}fdx_{1}\ldots d_{n}$ , där $\Omega _{+}\cap \Omega _{-}=\emptyset \land \Omega _{+}\cup \Omega _{-}=D\land f({\bar {x}})\geq 0\forall {\bar {x}}\in \Omega _{+}\land f({\bar {x}})\leq 0\forall {\bar {x}}\in \Omega _{-}$ .

Konvergens

En generaliserad integral $\int _{a}^{b}f(x)dx$ säges konvergera om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den divergera.