Cartans kriterium

Inom matematiken är Cartans kriterium kriterium för en Liealgebra i karakteristik 0 att vara lösbar, av vilket ett liknande kriterium för en Liealgebra att vara halvenkel. Den baserar sig på Killingformer, symmetriska bilinjära former över ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ definierade enligt formeln

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

där tr betecknar spåret av en linjär operator. Kriteriet introducerades av Élie Cartan (1894).

Cartans kriterium för lösbarhet

Cartans kriterium för lösbarhet lyder:

En Lie-delalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ av endomorfier av ett ändligtdimensionellt vektorrum över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om ${\displaystyle Tr(ab)=0}$ då ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

Att ${\displaystyle Tr(ab)=0}$ i det lösbara fallet följer moedelbart ur Lie–Kolchins sats som säger att lösbara Liealgebror i karakteristik 0 kan skrivas i övre triangulär form.

Genom att använda Cartans kriterium till den adjungta representationen får man:

En ändligtdimensionell Liealgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ över en kropp av karakteristik noll är lösbar om och bara om ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$ (där K är Killingformen).

Se även

• Modulär Liealgebra

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cartan's criterion, 5 juni 2014.

• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thesis, Nony, http://books.google.com/books?id=JY8LAAAAYAAJ 
• Dieudonné, Jean (1953), ”On semi-simple Lie algebras”, Proceedings of the American Mathematical Society 4: 931–932, ISSN 0002-9939 
• Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Lie algebras and Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, "1500", Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-70634-2, ISBN 978-3-540-55008-2