Teorija aproksimacije

U matematici, teorija aproksimacije se bavi načinom na koji se funkcije najbolje mogu aproksimirati jednostavnijim funkcijama,^[1] i kvantitativnim karakterisanjem grešaka koje su time uvedene. Treba imati na umu da ono što se podrazumeva najboljim i jednostavnijim zavisi od aplikacije.^[2] Blisko srodna tema je aproksimacija funkcija generalizovanim Furijeovim redom,^[3][4][5] tj. aproksimacija zasnovana na sumaciji niza termina baziranih na ortogonalnim polinomima.^[6][7]

Jedan od problema od posebnog interesa je aproksimacija funkcije u računarskoj matematičkoj biblioteci, korišćenjem operacija koje se mogu izvršiti na računaru ili kalkulatoru (npr. sabiranje i množenje), tako da je rezultat što je moguće bliži stvarnoj funkciji. Ovo se obično radi sa polinomskim ili racionalnim (odnos polinoma) aproksimacijama.

Cilj je da aproksimacija bude što je moguće bliže stvarnoj funkciji, tipično sa tačnošću koja je bliska onoj koja postoji u osnovnoj računarskoj aritmetici sa pokretnim zarezom. Ovo se postiže korišćenjem polinoma visokog stepena i/ili sužavanjem domena nad kojim polinom treba da aproksimira funkciju. Sužavanje domena često se može obaviti upotrebom različitih formula za dodavanje ili skaliranje funkcija koje se aproksimiraju.^[8][9] Moderne matematičke biblioteke često redukuju domen na mnoge male segmente i koriste polinom niskog stepena za svaki segment.

Optimalni polinomi

Kada se izabere domen (tipično interval) i stepen polinoma, sam polinom se bira na takav način da se minimizuje greška u najgorem slučaju. To jest, cilj je da se minimizuje maksimalna vrednost od ${\displaystyle \mid P(x)-f(x)\mid }$, gde je P(x) aproksimacioni polinom, f(x) je stvarna funkcija, i x varira u izabranom intervalu. Za funkcije koje se dobro ponašaju, postoji polinom N-tog stepena koji će dovesti do krive greške koja osciluje između ${\displaystyle +\varepsilon }$ i ${\displaystyle -\varepsilon }$ ukupno N + 2 puta, dajući najgoru grešku od ${\displaystyle \varepsilon }$. Može se videti je da postoji polinom N-tog stepena koji može da interpolira N + 1 tačaka krive. Takav polinom je uvek optimalan. Mogu se osmisliti funkcije f(x) za koje ne postoji takav polinom, ali se one u praksi retko javljaju.

Na primer, grafovi prikazani na desnoj strani pokazuju grešku u aproksimaciji log(x) i exp(x) za N = 4. Crvene krive, za optimalni polinom, su nivo, tj. one osciliraju između ${\displaystyle +\varepsilon }$ i ${\displaystyle -\varepsilon }$. Traba imati na umu da je u svakom slučaju broj ekstrema N + 2, tj. 6. Dva ekstrema su na krajnjim tačkama intervala, na levim i desnim ivicama grafova.

Da bi se dokazalo da je ovo tačno, pretpostavimo da je P polinom stepena N koji ima opisano svojstvo, to jest, daje funkciju greške koja ima N + 2 ekstrema, naizmeničnih znakova i jednakih veličina. Crveni graf na desnoj strani pokazuje kako ova funkcija greške može izgledati za N = 4. Pretpostavimo da je Q(x) (čija je funkcija greške prikazana plavom bojom na desnom grafikonu) još jedan N-stepeni polinom koji je bolja aproksimacija za f nego P. Konkretno, Q je bliže f od P za svaku vrednost x_i gde se ekstrem P−f javlja, tako da je

${\displaystyle |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|.}$

Kad se javi maksimum od P−f u x_i, onda je

${\displaystyle Q(x_{i})-f(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=P(x_{i})-f(x_{i}),}$

Kad se javi minimum od P−f u x_i, onda je

${\displaystyle f(x_{i})-Q(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=f(x_{i})-P(x_{i}).}$

Dakle, kao što se može videti na grafiku, [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] mora ima naizmeničan znaku za N + 2 vrednosti od x_i. Ali [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] se svodi na P(x) − Q(x) koji je polinom stepena N. Ova funkcija menja znak najmanje N+1 puta, dakle, po teoremi o srednjoj vrednosti, ona ima N+1 nula, što je nemoguće za polinom stepena N.^[10][11]

Glavni časopisi

• Journal of Approximation Theory
• Constructive Approximation
• East Journal on Approximations

Vidi još

Reference

Literatura

Spoljašnje veze