Helikoid


Kružni helikoid je minimalna površ koja ima (kružni) heliks kao granicu. On je jedina pravolinijska minimalna površ, ne računajući ravan. Dugo je helikoid bio jedini poznati primer potpuno ugrađene minimalne površi konačne topologije sa beskonačnom krivinom. Međutim, 1992. godine drugi primer, poznat kao Hofmanova minimalna površ, je pronađen. Helikoid je jedina ne-rotaciona površ koja moze kliziti sama po sebi.

Matematički opis

Jednačina helikoida u cilindričnim koordinatama je:

z = c θ {\displaystyle z=c\theta }

U Dekartovim koordinatama to je:

y x = t a n ( z c ) {\displaystyle {\frac {y}{x}}=tan({\frac {z}{c}})}

Može biti data i u parametarskom obliku:

x = u cos ⁡ ( v ) {\displaystyle x=u\cos(v)}

y = u sin ⁡ ( v ) {\displaystyle y=u\sin(v)}

z = c v {\displaystyle z=cv} ,

koji ima očigledno uopštenje eleptičkog helikoida. Pišući z = − c u {\displaystyle z=-cu} umesto z = c v {\displaystyle z=cv} dobija se konus umesto helikoida.

Koeficijenti prve osnovne forme helikoida su dati sa :

E = 1 {\displaystyle E=1}

F = 0 {\displaystyle F=0}

G = c 2 + u 2 {\displaystyle G=c^{2}+u^{2}} ,

a koeficijenti druge osnovne forme su :

e = 0 {\displaystyle e=0}

f = − c c 2 + u 2 {\displaystyle f=-{\frac {c}{\sqrt {c^{2}+u^{2}}}}}

g = 0 {\displaystyle g=0}

dajući površinski element:

d S = c 2 + u 2 d u ∧ d v {\displaystyle dS={\sqrt {c^{2}+u^{2}}}du\wedge dv}

Integracijom po v ∈ [ 0 , θ ] {\displaystyle v\in [0,\theta ]} i u ∈ [ 0 , r ] {\displaystyle u\in [0,r]} se dobija :

s = ∫ 0 θ ∫ 0 r c 2 + u 2 d u d v {\displaystyle s=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\sqrt {c^{2}+u^{2}}}dudv}

= 1 2 θ [ r c 2 + r 2 + c 2 log ⁡ r + c 2 + r 2 c ] {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\theta {\bigg [}r{\sqrt {c^{2}+r^{2}}}+c^{2}\log {\frac {r+{\sqrt {c^{2}+r^{2}}}}{c}}{\bigg ]}}

Gausova krivina je data sa :

K = − c 2 ( c 2 + u 2 ) 2 {\displaystyle K=-{\frac {c^{2}}{(c^{2}+u^{2})^{2}}}}

a srednja krivina je :

H = 0 {\displaystyle H=0}

čineći helikoid minimalnom površinom.[1] Gausova krivina se može implicitno dati :

K ( x , y , z ) = − c 2 [ c 2 + x 2 sec ⁡ ( z c ) 2 ] 2 {\displaystyle K(x,y,z)=-{\frac {c^{2}}{[c^{2}+x^{2}\sec({\frac {z}{c}})^{2}]^{2}}}}

= − 4 c 2 sin ⁡ ( z c ) 4 [ c 2 + 2 y 2 − c 2 cos ⁡ ( 2 z c ) ] 2 {\displaystyle =-{\frac {4c^{2}\sin({\frac {z}{c}})^{4}}{[c^{2}+2y^{2}-c^{2}\cos({\frac {2z}{c}})]^{2}}}}

Helikoid i katenoid

Animacija prikazuje transformaciju helikoida u katenoid transformacijom

Helikoid i katenoid su lokalno izometrijske površine . Helikoid se može konstantno pretvarati u katenoid.

x ( u , v ) = cos ⁡ α sinh ⁡ v sin ⁡ u + sin ⁡ α cosh ⁡ v cos ⁡ u {\displaystyle x(u,v)=\cos \alpha \sinh v\sin u+\sin \alpha \cosh v\cos u}

y ( u , v ) = − cos ⁡ α sinh ⁡ v cos ⁡ u + sin ⁡ α cosh ⁡ v sin ⁡ u {\displaystyle y(u,v)=-\cos \alpha \sinh v\cos u+\sin \alpha \cosh v\sin u}

z ( u , v ) = u cos ⁡ α + v sin ⁡ α {\displaystyle z(u,v)=u\cos \alpha +v\sin \alpha }

gde je α = 0 {\displaystyle \alpha =0} odgovara helikoidu a α = π / 2 {\displaystyle \alpha =\pi /2} katenoidu .

Vidi još

Reference

  1. ^ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space, By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin, Contributor A. A. Tuzhilin, Published by AMS Bookstore. 1991. ISBN 978-0-8218-4552-3. стр. 33.

Spoljašnje veze

Helikoid на Викимедијиној остави.
  • Helikoid na wolfram.com (језик: енглески)
  • Slika helikoida
  • Interactive 3D Helicoid plotter using Processing (with code)
  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Helicoid”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
  • WebGL-based Interactive 3D Helicoid