Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija.

Definicija

Ako je ${\displaystyle V}$ ne-prazan arbitraran set objekata, ${\displaystyle F}$ određeni set skalara koji ima strukturu polja. Također postoji definicija zbroja dva objekt u setu ${\displaystyle V}$, te umnoška sklara iz seta ${\displaystyle F}$ i objekta iz seta ${\displaystyle V}$.

V se može smatrati vektorskim prostorom ukoliko zadovoljava sljedeće aksiome:

• ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ su objekti u ${\displaystyle V}$, vrijedi da je ${\displaystyle A+B}$ objekt u ${\displaystyle V}$.
• ${\displaystyle k}$ je skalar u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi da je ${\displaystyle kA}$ objekt u ${\displaystyle V}$.
• ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ su objekti u ${\displaystyle V}$, vrijedi pravilo asocijativnosti odnosno ${\displaystyle A+B=B+A}$.
• ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ su objekti u ${\displaystyle V}$, vrijedi pravilo komutativnosti odnosno ${\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}$
• ${\displaystyle k}$ je skalar u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ su objekti u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle k(A+B)=kA+kB}$
• ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle l}$ su skalari u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ je objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle (k+l)A=kA+lA}$
• ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle l}$ su skalari u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ je objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle k(lA)=(kl)A}$
• ${\displaystyle 1}$ je neutralni element za množenje u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ je objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle 1A=A}$
• ${\displaystyle 0}$ nulti vektor u ${\displaystyle V}$, a ${\displaystyle A}$ objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle A+0=A}$
• ${\displaystyle A}$ je objekt u ${\displaystyle V}$, a ${\displaystyle -A}$ njegov zbrojni inverz u ${\displaystyle V}$, vrijedi ${\displaystyle A+(-A)=0}$

S obzirom da je vektorski prostor ${\displaystyle V}$, definiran i ${\displaystyle F}$, može se pisati ${\displaystyle V(F)}$ (čit. vektorski prostor ${\displaystyle V}$ nad ${\displaystyle F}$).

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takođe, vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

Primjeri

• ${\displaystyle n\times m}$ matrice
• Vektori u ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Realni brojevi
• Polinomi

Vektorski podprostor

Poneakad je moguće definirati novi set ${\displaystyle S}$ u kojem svi elementi pripadaju i nekom vektornom prostoru ${\displaystyle V}$ . U tom se slučaju većina prije naznačenih aksioma će biti naslijeđena osim:

• ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ su objekti u ${\displaystyle V}$, vrijedi da je ${\displaystyle A+B}$ objekt u ${\displaystyle V}$.
• ${\displaystyle k}$ je skalar u ${\displaystyle F}$, a ${\displaystyle A}$ objekt u ${\displaystyle V}$, vrijedi da je ${\displaystyle kA}$ objekt u ${\displaystyle V}$.

Primjeri

• parni broj kao podprostor realnih brojeva
• Cijeli brojevi kao podprostor realnih brojeva
• Racionalni brojevi kao podprostor realnih brojeva
• Neprekidne funkcije kao podprostor funkcija
• Diferencijabilne funkcije kao prodpostor funkcija

Literatura

• Anton, H.  (04/2014). Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications, International Student Version, 11th Edition [VitalSource Bookshelf version].  Retrieved from vbk://9781118707241

Vektorski prostor na Wikimedijinoj ostavi