Slučajna varijabla

Slučajna promenljiva je funkcija definisana na ansamblu mogućih ishoda slučajnog procesa.

Postoje dva osnovna tipa slučajnih promenljivih: diskretne i neprekidne. Diskretne slučajne promenljive preslikavaju ishode iz prebrojivog skupa ishoda u skup verovatnoća (većih od ili jednakih 0). Neprekidne slučajne promenljive preslikavaju neprebrojivi skup ishoda u funkciju definisanu na nekom beskonačnom domenu (obično na skupu realnih brojeva). Najčešće je verovatnoća svakog pojedinačnog ishoda neprekidne slučajne promenljive 0, dok je verovatnoća da promenljiva uzme vrednost iz nekog intervala pozitivna. Moguća je i kombinacija ova dva tipa.

Slučajna promenljiva može imati vektorsku vrednost ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ili ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}}$, i u tom slučaju govorimo o vektoru ishoda: ${\displaystyle \ \scriptstyle \ X\ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {R} ^{n}}$ ili ${\displaystyle \scriptstyle \ X\ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Ako slučajna promenljiva uzima vrednosti iz skupa funkcija definisanih u vremenskom domenu (na primer, šum radio signala, sekvenca loto brojeva) govorimo o stohastičkom procesu.

Igre na sreću su blisko povezane sa slučajnim ishodima (rezultat bacanja kocke, ishod bacanja novčića, okretanja ruleta...). Odnos između slučajnog ishoda i dobitka u igrama na sreću se zasniva na funkcijama teorije verovatnoće. Slučajnim promenljivima se pridružuje veličina (metrika).

Neka je ${\displaystyle \ \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ prostor elementarnih ishoda i ${\displaystyle \ \scriptstyle (E,{\mathcal {E}})}$ metrički prostor. Slučajna promenljiva ${\displaystyle \ \scriptstyle \Omega }$ ${\displaystyle \ \scriptstyle E}$ je svaka metrička funkcija ${\displaystyle \ \scriptstyle X\ }$ argumenta ${\displaystyle \ \scriptstyle \Omega }$ koja daje rezultat u prostoru ${\displaystyle \ \scriptstyle E}$.

Uslov „merljivosti“ ${\displaystyle \ \scriptstyle X}$ obezbeđuje da slika ${\displaystyle \ \scriptstyle X}$ svakog elementa ${\displaystyle \ \scriptstyle B}$ skupa ${\displaystyle \ \scriptstyle {\mathcal {E}}}$ ima pridruženu verovatnoću i dozvoljava definisanje mere verovatnoće, koja se definiše izrazom:

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)=\mathbb {P} \left(X\in B\right).}$

Funkcija ${\displaystyle \ \scriptstyle \mathbb {P} _{X}}$ se naziva raspodelom verovatnoće slučajne promenljive ${\displaystyle \ \scriptstyle X\ }$.