Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

Konstrukcija

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost c odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

Svojstva

Osnovna

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi | f c n ( 0 ) | ≤ 2 {\displaystyle |f_{c}^{n}(0)|\leq 2} za sve n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} . Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost f c n ( 0 ) {\displaystyle f_{c}^{n}(0)} za neki n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako 6 π − 1 − e = 1.506591651 … {\displaystyle {\sqrt {6\pi -1}}-e=1.506591651\ldots }

Samosličnost

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

Atraktori perioda-n

Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":

Galerija uvećavanja

Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.



I
II
III
IV

V
VI
VII
VIII
IX

X
XI
XII
XII
XIV

Varijacije

multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije f ( z n − 1 ) = z n b + c , b > 2 {\displaystyle f(z_{n-1})=z_{n}^{b}+c,b>2} . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vanjske veze

  • "Mandelbrot set - The most advanced online generator"

Vidi još

Mandelbrotov skup na Wikimedijinoj ostavi
  • Fraktali
  • Julijin skup
  • Gorući brod (fraktal)