Q-тест Льюнг — Бокса

${\displaystyle Q}$-тест Льюнг — Бокса — статистический критерий, предназначенный для нахождения автокорреляции временны́х рядов. Вместо тестирования на случайность каждого отдельного коэффициента, он проверяет на отличие от нуля сразу несколько коэффициентов автокорреляции^[1].

${\displaystyle Q}$-тест Льюнг — Бокса может быть определён следующим образом. Выдвигаются две конкурирующие гипотезы:

${\displaystyle H_{0}}$: данные являются случайными (то есть представляют собой белый шум).

${\displaystyle H_{a}}$: данные не являются случайными.

Проводится статистическое испытание^[1]:

${\displaystyle {\tilde {Q}}=n\left(n+2\right)\sum _{k=1}^{m}{\frac {{\hat {\rho }}_{k}^{2}}{n-k}},}$

где ${\displaystyle n}$ — число наблюдений, ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{k}}$ — автокорреляция ${\displaystyle k}$-го порядка, и ${\displaystyle m}$ — число проверяемых лагов. Если

${\displaystyle {\tilde {Q}}>\chi _{1-\alpha ,\;m}^{2},}$

где ${\displaystyle \chi _{1-\alpha ,\;m}^{2}}$ — квантили распределения хи-квадрат с ${\displaystyle m}$ степенями свободы, то нулевая гипотеза отвергается, и признаётся наличие автокорреляции до ${\displaystyle m}$-го порядка во временном ряду. ${\displaystyle Q}$-тест Льюнг — Бокса основан на статистике Бокса — Пирса. Так, он имеет такое же асимптотическое распределение и при относительно больших значениях числа наблюдений даёт схожие результаты^[2]. Но распределение теста Льюнг — Бокса ближе к ${\displaystyle \chi ^{2}}$ для конечных выборок^[3]. Кроме того, критерий не теряет своей состоятельности, даже если процесс не имеет нормального распределения (при наличии конечной дисперсии)^[1]. ${\displaystyle Q}$-тест Льюнг — Бокса обычно используется при построении моделей ARIMA. При этом следует иметь в виду, что данное тестирование применяется к остаткам полученной модели ARIMA, а не к исходным данным^[3].

• Критерий Дарбина — Уотсона
• Q-статистика Бокса — Пирса
• Метод рядов