Transformări elementare ale matricilor

În matematică, o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt:

  • schimbarea a două (linii/coloane) între ele;
  • înmulțirea tuturor elementelor unei (linii/coloane) cu un scalar;
  • adunarea la toate elementelor unei (linii/coloane) a elementelor altei (linii/coloane) înmulțite cu un scalar.

Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană.

În continuare, se consideră matrici cu elemente într-un corp. Vom numi „rând” al unui matrici, o linie sau coloană a acelei matrici, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare:

  • Matricea unitate = matricea identitate
  • Matricea nulă
  • Matricea de transpoziție
  • Matricea de înmulțire
  • Matricea de adunare

Matricea identitate

Matricea unitate (sau matricea identitate) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: In, (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).

I 1 = [ 1 ] ,   I 2 = [ 1 0 0 1 ] ,   I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ,   ⋯ ,   I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

Se mai notează:

I n = d i a g ( 1 , 1 , . . . , 1 ) . {\displaystyle I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,...,1).\,}

sau:

( I n ) i j = δ i j . {\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.\,}

unde δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor:

I m . A = A . I n = A . {\displaystyle I_{m}.A=A.I_{n}=A.\,}

Matricea nulă

Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune m × n având toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.

0 m , n = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] m × n {\displaystyle 0_{m,n}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}_{m\times n}}

Matricea de transpoziție

În această matrice, Tij, sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:

T i , j = [ 1 ⋱ 0 1 ⋱ 1 0 ⋱ 1 ] {\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }

Proprietăți

  • Inversa acestei matrici este ea însăși: Tij−1=Tij;
  • Determinantul acestei matrici este egal cu -1;
  • Produsul matricilor: Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de înmulțire

Această matrice, Ti(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate:

T i ( k ) = [ 1 ⋱ 1 k 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle T_{i}(k)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&k&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }

Proprietăți

  • Inversa acestei matrici este: Ti(k)−1 = Ti(1/k).
  • det[Ti(k)] = k.
  • Produsul matricilor: Ti(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Ti(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare

T i , j ( k ) = [ 1 ⋱ 1 ⋱ k 1 ⋱ 1 ] {\displaystyle T_{i,j}(k)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&k&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}

Proprietăți

  • Inversa acestei matrici: Tij(k)−1 = Tij(−k) .
  • det[Tij(k)] = 1.
  • Produsul matricilor: Tij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Aplicații

Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricilor.

Referințe

  • Axler, Sheldon Jay, Algebră liniară, ISBN 0-387-98259-0
  • Lay, David C., Algebră liniară și aplicații, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Meyer, Carl D., Analiză matriceală și algebră liniară aplicată”, ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html Arhivat în , la Wayback Machine.
  • Poole, David, Algebră liniară: o introducere modernă”, ISBN 0-534-99845-3
  • Anton, Howard, Algebră liniară și aplicații
  • Leon, Steven J., Algebră liniară și aplicații
  • Ion D.Ion, C.Niță, Elemente de aritmetică cu aplicații în tehnica de calcul, Editura tehnică, București, 1978