Teorema Brunn-Minkowski

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.

În matematică, teorema Brunn–Minkowski  (sau inegalitatea Brunn–Minkowski) este o inegalitate referitoare la volumele (sau mai general măsuri Lebesgue ) de submulțimi compacte de spații Euclidiene. Versiunea originală a teoremei Brunn–Minkowski  (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) aplicată la mulțimile convexe. Generalizarea la seturi neconvexe compacte i se datorează L. A. Lusternik (1935).

Formularea teoremei

Fie n ≥ 1 și fie ca μ să indice măsura Lebesgue pe Rn. Fie A și B două submulțimi nevide compacte din Rn. Atunci are loc inegalitatea:

[ μ ( A + B ) ] 1 / n ≥ [ μ ( A ) ] 1 / n + [ μ ( B ) ] 1 / n , {\displaystyle [\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},}

unde A + B indică suma Minkowski:

A + B := { a + b ∈ R n ∣ a ∈ A ,   b ∈ B } . {\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}

Observație

Demonstrația teoremei Brunn–Minkowski stabilește că funcția 

A ↦ [ μ ( A ) ] 1 / n {\displaystyle A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}}

este concavă în  sensul că pentru fiecare pereche nevidă de mulțimi compacte A și B din Rn și fiecare 0 ≤ t ≤ 1,

[ μ ( t A + ( 1 − t ) B ) ] 1 / n ≥ t [ μ ( A ) ] 1 / n + ( 1 − t ) [ μ ( B ) ] 1 / n . {\displaystyle \left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.}

Pentru mulțimile convexe A și B inegalitatea din teoremă este strictă pentru 0 < t < 1 doar dacă A și B sunt omotetice, adică sunt egale până la translație și scalare.

Bibliografie

  • Brunn, H. (). „Über Ovale und Eiflächen”. Inaugural Dissertation, München. 
  • Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Berlin: 1. Verlag von Julius Springer. 
  • Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates. 
  • Dacorogna, Bernard (). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2. 
  • Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
  • Lyusternik, Lazar A. (). „Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen”. Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série). III: 55–58. 
  • Minkowski, Hermann (). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner. 
  • Ruzsa, Imre Z. (). „The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets”. Geometriae Dedicata. 67 (3). pp. 337–348. doi:10.1023/A:1004958110076. MR 1475877. 
  • Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Portal icon Portal Matematică