Serie formală

În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom. A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

Definiție

Fie ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ un inel integru. Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul ${\displaystyle A,}$ o funcție ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A.}$

Fie mulțimea valorilor lui ${\displaystyle f:\;\;Im\;f=\{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}.}$ Acestei mulțimi i se asociază expresia:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots a_{n}T^{n}+\cdots ,}$

unde ${\displaystyle T=\{0,1,0,0,\cdots ,0,\cdots \}\in A^{\mathbb {N} }}$ este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero. Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$ se mai scrie ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots a_{n}T^{n}+\cdots ,}$ iar elementele ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots }$ se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru ${\displaystyle A}$ se notează ${\displaystyle A[[T]].}$

Exemple

${\displaystyle 1)}$ Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul ${\displaystyle A}$ este o serie formală:

${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]],}$

astfel încât există ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ pentru care ${\displaystyle a_{k}\neq 0,}$ iar ${\displaystyle a_{k+1}=a_{k+2}=\cdots =a_{k+s}=0,\;\forall s\geq 1.}$ În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}.}$

Dacă ${\displaystyle a_{k}=0,\;\forall k\in \mathbb {N} ,}$ atunci gradul polinomului f se consideră a fi ${\displaystyle -\infty .}$

${\displaystyle 2)}$  ${\displaystyle f=1+T+T^{2}+\cdots +T^{n}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].}$

${\displaystyle 3)}$.  ${\displaystyle f=1+{\frac {T}{3}}+{\frac {T^{2}}{9}}+{\frac {T^{3}}{27}}+\cdots +{\frac {T^{n}}{3^{n}}}+\cdots \in \mathbb {Q} [[T]].}$

${\displaystyle 4)}$  ${\displaystyle f=T^{2}-2T^{3}+3T^{4}-\cdots +(n-1)(-1)^{n}T^{n}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].}$

${\displaystyle Observa{\underset {'}{t}}ie.}$ În exemplul ${\displaystyle 1}$ se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia. Pentru o serie formală oarecare ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots \in A[[T]]}$ nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural ${\displaystyle k}$ astfel încât ${\displaystyle a_{k+l}=0}$ pentru ${\displaystyle l\geq 1.}$ Există însă cel mai mic număr natural ${\displaystyle l}$ pentru care ${\displaystyle a_{l}\neq 0}$ (eventual ${\displaystyle l=0}$).

Ordinul unei serii formale

${\displaystyle Defini{\underset {'}{t}}ie.}$ Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul ${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$ numărul:

${\displaystyle ord\;f={\begin{cases}\min\{i;a_{i}\neq 0\},&daca\;f\neq 0\\\infty &daca\;f=0.\end{cases}}}$

Operații cu serii formale

Fie ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$ și ${\displaystyle g=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots }$ două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul ${\displaystyle A.}$ Se definește suma și produsul lor astfel:

${\displaystyle f+g=a_{0}+b_{0}+(a_{1}+b_{1})T+\cdots +(a_{n}+b_{n})T+\cdots }$

${\displaystyle fg=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})T+\cdots +(a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0})T^{i}+\cdots }$

${\displaystyle Propozi{\underset {'}{t}}ie.}$ Dacă ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ este un inel comutativ, atunci și ${\displaystyle (A,[[T]],+,\cdot )}$ este un inel comutativ.

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.}$ "Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ ${\displaystyle A}$ sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul ${\displaystyle A}$ sunt asociative și comutative.

Seria formală ${\displaystyle 0=0+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^{n}+\cdots }$ este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]],}$ atunci seria formală ${\displaystyle -f=-a_{0}+(-a_{1})T+\cdots +(-a_{n})T^{n}}$ este opusa seriei formale ${\displaystyle f}$ întrucât ${\displaystyle f+(-f)=(-f)+f=0.}$ Seria formală ${\displaystyle 1=1+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^{n}+\cdots }$ este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabile

${\displaystyle Propozi{\underset {'}{t}}ie.}$ O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$

este inversabilă în ${\displaystyle A[[T]]}$ dacă și numai dacă elementul ${\displaystyle a_{0}}$ este inversabil în ${\displaystyle A.}$

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.}$ Se arată mai întâi că dacă seria formală ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$ este inversabilă în ${\displaystyle A[[T]],}$ atunci ${\displaystyle a_{0}}$ este inversabilă în ${\displaystyle A.}$ Fie ${\displaystyle g=b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]]}$ astfel încât ${\displaystyle (a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots )\cdot (b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots )=1.}$ Atunci ${\displaystyle a_{0}b_{0}=1,}$ deci ${\displaystyle a_{0}}$ este inversabil în ${\displaystyle A.}$

Reciproc, acum se presupune că elementul ${\displaystyle a_{0}}$ este inversabil în ${\displaystyle A}$ și se arată că seria formală ${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$ este inversabilă în ${\displaystyle A[[T]].}$ Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală ${\displaystyle g=b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in a[[T]]}$ astfel încât ${\displaystyle fg=1.}$ Pentru aceasta, se arată că există elementele ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \in A}$ astfel încât:

${\displaystyle a_{0}b_{0}=1}$

${\displaystyle a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0}$

${\displaystyle a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0}$

${\displaystyle \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }$

${\displaystyle a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}=0.}$

${\displaystyle \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }$

Din ${\displaystyle a_{0}b_{0}=1}$ rezultă că ${\displaystyle b_{0}=a_{0}^{-1}.}$

Din ${\displaystyle a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0}$ rezultă că ${\displaystyle b_{1}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{0}).}$

Din ${\displaystyle a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0}$ rezultă că ${\displaystyle b_{2}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{0}).}$

Dacă se presupune că sunt determinați ${\displaystyle b_{0},b_{1},\cdots ,b_{i-1},}$ atunci din relația ${\displaystyle a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}=0}$ rezultă că ${\displaystyle b_{i}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{i-1}-\cdots -a_{i-1}b_{1}-a_{i}b_{0}).}$

Deci există o serie formală ${\displaystyle g=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots }$ astfel încât ${\displaystyle fg=1.}$

Exemple de serii formale inversabile

${\displaystyle 1.}$ Fie ${\displaystyle f=1-X\in \mathbb {Z} [[X]].}$ Deoarece ${\displaystyle (1-X)(1+X+\cdots +X^{n}+\cdots )=1,}$ rezultă că:

${\displaystyle (1-X)^{-1}=1+X+X^{2}+\cdots +X^{n}+\cdots }$

Se observă că ${\displaystyle 1-X}$ este inversabil în ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]],}$ dar nu este inversabil în ${\displaystyle \mathbb {Z} [X].}$

${\displaystyle 2.}$ Fie ${\displaystyle f={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\in \mathbb {Q} [[T]].}$

Elementul ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$ este inversabil, deci seria formală ${\displaystyle f}$ este inversabilă în ${\displaystyle \mathbb {Q} [[T]].}$ Se determină seria formală:

${\displaystyle f^{-1}=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in \mathbb {Q} [[T]].}$

Se obține: ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\right)\cdot (b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots )=1.}$

Prin identificarea coeficienților, se obține:

	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{0}=1,}$	deci ${\displaystyle b_{0}=2}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{1}-{\frac {1}{2}}b_{0}={\frac {1}{2}}b_{1}-1=0,}$	deci ${\displaystyle b_{1}=2}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{2}-{\frac {1}{2}}b_{1}+{\frac {1}{2}}b_{0}={\frac {1}{2}}b_{2}-1+1={\frac {1}{2}}b_{2}=0,}$	deci ${\displaystyle b_{2}=0}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{3}-{\frac {1}{2}}b_{2}+{\frac {1}{2}}b_{1}={\frac {1}{2}}b_{3}+1=0,}$	deci ${\displaystyle b_{3}=-2}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{4}-{\frac {1}{2}}b_{3}+{\frac {1}{2}}b_{2}={\frac {1}{2}}b_{4}+1=0,}$	deci ${\displaystyle b_{4}=-2}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{5}-{\frac {1}{2}}b_{4}+{\frac {1}{2}}b_{3}={\frac {1}{2}}b_{5}+1-1={\frac {1}{2}}b_{5}=0,}$	deci ${\displaystyle b_{5}=0}$
	${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{6}-{\frac {1}{2}}b_{5}+{\frac {1}{2}}b_{4}={\frac {1}{2}}b_{6}-1=0,}$	deci ${\displaystyle b_{6}=2.}$

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\right)^{-1}=}$

${\displaystyle =2+2T-2T^{3}-2T^{4}+\cdots -2T^{6k-2}+2T^{6k}+2T^{6k+1}-2T^{6k+3}-2T^{6k+4}+\cdots }$

Aplicații

Fie ${\displaystyle f=1+T+T^{2}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]]}$ și ${\displaystyle g=(1+T)(1+T^{2})(1+T^{4})\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].}$ Se arată că ${\displaystyle f=g.}$ Există relațiile:

${\displaystyle (1-T)f=(1-T)(1+T+T^{2}+\cdots )=1}$

${\displaystyle (1-T)g=(1-T)(1+T)(1+T^{2})(1+T^{4})\cdot \cdots =(1-T^{2})(1+T^{2})(1+T^{4})\cdot \cdots =}$

${\displaystyle =(1-T^{4})(1+T^{4})\cdot \cdots =(1_{T}^{2k})(1+T^{2k})(1+T^{2k+1})\cdot \cdots }$

${\displaystyle \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots =1}$ (deoarece toți coeficienții puterilor lui ${\displaystyle T_{i}}$ sunt nuli).

Prin urmare ${\displaystyle (1-T)f=(1-T)g.}$ Rezultă:

${\displaystyle (1-T)^{-1}(1-T)f=(1-T)^{-1}(1-T)g,}$ de unde ${\displaystyle f=g.}$

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent. Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

${\displaystyle Defini{\underset {'}{t}}ie.}$ Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots }$

seria formală:

${\displaystyle f^{\prime }=a_{1}+2a_{2}T+\cdot +na_{n}T^{n-1}+\cdots }$

Derivata unei serii formale ${\displaystyle f}$ se mai notează ${\displaystyle df}$ sau ${\displaystyle df/dT.}$

Se remarcă faptul că dacă ${\displaystyle f}$ este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci ${\displaystyle df}$ este derivata obișnuită a funcției ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots }$

${\displaystyle Observa{\underset {'}{t}}ie.\;\;df=0\;\Leftrightarrow \;ord\;f=0.}$

Funcțiile trigonometrice formale

${\displaystyle Defini{\underset {'}{t}}ie.}$ Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

${\displaystyle \sin T=T-{\frac {T^{3}}{3!}}+{\frac {T^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {T^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots }$

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

${\displaystyle \sin T=1-{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {T^{2k}}{(2k)!}}+\cdots }$

${\displaystyle Teorem{\breve {a}}.}$ Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

${\displaystyle i)\;\sin(-x)=-\sin x,\;\cos(-x)=\cos x}$

${\displaystyle ii)\;\sin 'x=\cos x,\;\cos 'x=-\sin x.}$

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.}$

${\displaystyle i)\;\sin(-x)=-x+{\frac {x^{3}}{3!}}-\cdots +(-1)^{k+1}+\cdots =-\sin x.}$

${\displaystyle \cos(-x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\cdots =\cos x.}$

${\displaystyle ii)\;\sin 'x=1-3{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!}}+\cdots =\cos x}$

${\displaystyle \cos 'x=-{\frac {2x}{2!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {2kx^{2k-1}}{(2k)!}}+\cdots =-\sin x.}$

De remarcat faptul că: ${\displaystyle \sin 0=0,\;\cos 0=1.}$

${\displaystyle Teorem{\breve {a}}.}$ Dacă ${\displaystyle a,x\in \mathbb {R} }$ atunci :

${\displaystyle \sin(a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x}$

${\displaystyle \cos(a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.}$

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.}$ Se consideră seriile formale în variabila ${\displaystyle x}$ cu coeficienți reali:

${\displaystyle F_{1}(x)=\sin(a+x)-\sin a\cdot \cos x-\cos a\cdot \sin x}$

${\displaystyle F_{2}(x)=\cos(a+x)-\cos a\cdot \cos x+\sin a\cdot \sin x}$

${\displaystyle F(x)=F_{1}^{2}(x)=F_{1}^{2}(x)+F_{2}^{2}(x).}$

Se remarcă faptul că: ${\displaystyle F_{1}(0)=F_{2}(0)=0.}$ De asemenea:

${\displaystyle F'_{1}(x)=\cos(a+x)+\sin a\cdot \sin x-\cos a\cdot \cos x=F_{2}(x)}$

${\displaystyle F'_{2}(x)=-\sin(a+x)+\cos a\cdot \sin x+\sin a\cdot \cos x=-F_{1}(x).}$

Derivând și seria formală ${\displaystyle F(x)}$ se obține:

${\displaystyle F'(x)=2F_{1}(x)F'_{1}(x)+2F_{2}(x)F'_{2}(x)=2F_{1}(x)F_{2}(x)-2F_{2}(x)F_{1}(x)=0.}$

Dacă ${\displaystyle F(x)}$ are ordinul zero, adică ${\displaystyle F(x)=c,\;c\in \mathbb {R} .}$ Însă ${\displaystyle F(0)=0,}$ prin urmare ${\displaystyle F(x)=0.}$ De aici rezultă și ${\displaystyle F_{1}(x)=F_{2}(x)=0,}$ deci:

${\displaystyle \sin(a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x}$

${\displaystyle \cos(a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.}$

Funcția exponențială

${\displaystyle Defini{\underset {'}{t}}ie.}$ Se numește funcție exponențială funcția ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definită prin seria formală:

${\displaystyle \exp T=1+{\frac {T}{1!}}+\cdots +{\frac {T^{n}}{n!}}+\cdots }$

${\displaystyle Propozi{\underset {'}{t}}ie.\;(\exp x)'=\exp x,\;\forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.\;(\exp x)'=1+{\frac {2x}{2!}}+\cdots +{\frac {nx^{n-1}}{n!}}+\cdots =\exp x.}$

${\displaystyle Teorem{\breve {a}}.\;\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y,\;\forall x,y\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle Demonstra{\underset {'}{t}}ie.}$

${\displaystyle \exp x\cdot \exp y=\left(1+{\frac {x}{1!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \right)\cdot \left(1+{\frac {y}{1!}}+\cdots +{\frac {y^{n}}{n!}}+\cdots \right)=}$

${\displaystyle =a_{0}+a_{1}t+\cdots +a_{n}t^{n}+\cdots ,}$

unde ${\displaystyle a_{n}t^{n}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {x^{p}y^{n-p}}{p!(n-p)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{p=0}^{n}{\frac {n!}{p!(n-p)!}}x^{p}y^{n-p}={\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}.}$

Prin urmare: ${\displaystyle \exp x\cdot \exp y=1+{\frac {x+y}{1!}}+\cdots +{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}+\cdots =\exp(x+y).}$

Pentru funcția exponențială ${\displaystyle \exp x}$ se mai folosește și notația ${\displaystyle e^{x}.}$

Se remarcă faptul că ${\displaystyle \exp 0=1,\;\exp(-x)=(\exp x)^{-1},\;\exp x\neq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} .}$

Bibliografie

• Miron Nicolescu - Analiză matematică, vol. I, 1957;
• P. Samuel, O. Zariski - Comutative algebra, vol. I, 1959;
• N. Radu, I. D. Ion - Algebra, 1970.