N-sferă

În matematică o n-sferă este un spațiu topologic care este homeomorf cu n-sfera "standard", care este mulțimea punctelor din spațiul euclidian (n+1)-dimensional care sunt situate la o distanță constantă r de un punct fix, numit centru. Este generalizarea unei sfere obișnuite din spațiul tridimensional obișnuit. Raza unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită n-sferă unitate, sau, pe scurt, n-sferă. În ceea ce privește norma standard, n-sfera este definită drept

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

iar n-sfera de rază r este definită drept

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

Dimensiunea unei n-sfere este n, care nu trebuie confundată cu dimensiunea (n+1) a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O n-sferă este suprafața care mărginește o bilă (n+1)-dimensională.

În particular:

• perechea de puncte de la capetele unui segment (unidimensional) este o 0-sferă,
• un cerc, care este circumferința unidimensională a unui disc bidimensional, este o 1-sferă,
• suprafața bidimensională a unei bile tridimensionale este o 2-sferă, numită uzual sferă,
• frontiera tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă,
• frontiera n–1-dimensională a unei n-bile (n-dimensională) este o (n–1)-sferă.

Pentru n ≥ 2 n-sferele, care sunt varietăți diferențiabile^⁠(d), pot fi caracterizate (până la un difeomorfism) ca fiind varietăți n-dimensionale simplu conexe, cu curbură constantă pozitivă. n-sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene n-dimensionale, identificând limita unui n-cub cu un punct, sau (inductiv) prin formarea suspensiei unei (n–1)-sfere. 1-sfera este o 1-varietate care este un cerc, care nu este simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin hipersferă se înțelege în general o n-sferă cu n > 2.

Descriere

În coordonate euclidiene din (n+1)-spațiu

Mulțimea punctelor din (n+1)-spațiu, (x₁, x₂, ..., x_n+1) care definește o n-sferă, ${\displaystyle S^{n}(r)}$ este dată de ecuația:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

unde c = (c₁, c₂, ..., c_n+1) este centrul, iar r este raza.

n-sfera de mai sus există în spațiul euclidian (n+1)-dimensional și este un exemplu de n-varietate. Volumul ω unei n-sfere de rază r este dat de

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

unde ∗ este operatorul Hodge^⁠(d) (stea); v. Flanders (1989, §6.1) pentru demonstrație în cazul r = 1. Rezultă

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

n-bilă

Spațiul închis de o n-sferă se numește (n+1)-bilă. O (n+1)-bilă este închisă dacă include n-sfera și este deschisă dacă nu o include.

În particular:

• o 1-bilă este un segment, interiorul unei 0-sfere,
• o 2-bilă este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă),
• o 3-bilă este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă),
• o 4-bilă este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin hiperbilă se înțelege în general o n-bilă cu n > 2.

Descriere topologică

Topologic, o n-sferă poate fi construită ca o compactificare^⁠(d) a spațiului euclidian n-dimensional. Pe scurt, n-sfera poate fi descrisă ca Sⁿ = ℝⁿ ∪ {∞}, care este spațiul euclidian n-dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o n-sferă, ea devine homeomorfă cu ℝⁿ. Asta formează baza proiecției stereografice.^[1]

Volumul și aria

V_n(R) și S_n(R) sunt volumul n-dimensional al bilei n-dimensionale, respectiv aria suprafeței n-sferei n + 1-dimensionale, de rază R.

Constantele V_n și S_n (pentru R = 1, bila și sfera unitate) sunt legate prin relațiile de recurență:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\end{aligned}}}$

unde Γ este funcția gamma.

În general, volumul n-bilei de rază R din spațiul euclidian n-dimensional și aria suprafeței n-sferei de rază R din spațiul euclidian (n+1)-dimensional sunt proporționale cu a n-a putere a razei R (cu diferite constante de proporționalitate care depind de n). Se poate scrie V_n(R) = V_nRⁿ pentru volumul n-bilei și S_n(R) = S_nRⁿ pentru aria suprafeței n-sferei, ambele de rază R, unde V_n = V_n(1) și S_n = S_n(1) sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile S_n(R) și S_m(R) pentru n ≠ m. Totuși, acestea nu sunt bine definite. De exemplu, dacă n = 2 și m = 3 atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea V_n(R) cu V_m(R) pentru n ≠ m.

Exemple

0-bila este formată dintr-un singur punct. Dimensiunea Hausdorff este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

0-sfera este formată din două puncte de capăt, {−1,1}. Prin urmare,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

1-bila unitate este intervalul [−1,1] de lungime 2. Prin urmare,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

1-sfera este cercul unitate din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,}$

iar volumul închis de 3-bila unitate (3-dimensională), este

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

Proiecția stereografică

La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o proiecție stereografică, o n-sferă poate fi proiectată pe un hiperplan n-dimensional de versiunea n-dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul [x,y,z] de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului [x/1 − z,y/1 − z] din planul xy. Altfel spus,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Analog, proiecția stereografică a unei n-sfere Sⁿ⁻¹ de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul (n−1)-dimensional ℝⁿ⁻¹ perpendicular pe axa x_n ca

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Note

Bibliografie

• en Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• en Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces). 
• en Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere). 
• en Marsaglia, G. (1972). „Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644. 
• en Huber, Greg (1982). „Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933. 
• en Barnea, Nir (1999). „Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135. 

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Hypersphere la MathWorld.