Matricea lui Toeplitz

Matricea lui Toeplitz (numită astfel după Otto Toeplitz) este, în algebra liniară, o matrice cu orice diagonală, ce coboară de la stânga la dreapta, constantă.

Exemplu

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&k\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\j&h&g&f&a\end{bmatrix}}}$

Definiție

În caz general, o matrice Toeplitz de tip ${\displaystyle n\times n}$ are forma:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}\cdots &\cdots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

Proprietăți

În general, o ecuație matricială:

${\displaystyle Ax=b}$

este echivalentă cu un sistem liniar de ecuații.

Să considerăm un astfel de sistem corespunzător unei matrice de tip Toeplitz. Avem:

${\displaystyle AU_{n}-U_{m}A={\begin{bmatrix}a_{-1}&\cdots &a_{-n+1}&0\\\vdots &&&-a_{-n+1}\\\vdots &&&\vdots \\0&\cdots &&-a_{-n+1}\end{bmatrix}}}$

unde ${\displaystyle U_{k}}$ este operatorul care mută fiecare rând al matricei cu k rânduri mai jos.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Vezi și

• Matricea lui Cauchy
• Matrice circulantă

Legături externe

• en Matricea lui Toeplitz și matricele circulante