Inel de întregi algebrici

În matematică, inelul numerelor întregi al unui corp algebric K este inelul elementelor întregi conținute în K.

Pentru construcția mulțimii numerelor întregi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ se utilizează următoarea teoremă atribuită lui Anatoli Malțev:

Teoremă.

Fie ${\displaystyle (M,\cdot )}$ un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare. Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi:

${\displaystyle i_{M}:\;M\to G(M),}$

care verifică următoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi ${\displaystyle f:M\to G}$ există un unic morfism de grupuri ${\displaystyle f':G(M)\to G}$ astfel încât diagrama de mai jos este comutativă (adică ${\displaystyle f'\circ i_{M}=f}$):

Demonstrație

Pe mulțimea ${\displaystyle M'=M\times M}$ definim relația ${\displaystyle (x,y)\sim (x',y'){\overset {def}{\Longleftrightarrow }}xy'=yx'.}$
Se demonstrează că ${\displaystyle \sim }$ este o echivalență pe ${\displaystyle M'}$ compatibilă cu structura de monoid a lui ${\displaystyle M'}$ (adică ${\displaystyle \sim }$ este o congruență pe monoidul produs ${\displaystyle M'=M\times M}$).

În mod evident, relația ${\displaystyle \sim }$ este reflexivă și simetrică. Dacă ${\displaystyle (x,y)\sim (x',y')}$ și ${\displaystyle (x',y')\sim (x'',y'')}$ atunci ${\displaystyle xy'=yx'}$ și ${\displaystyle x'y''=x''y',}$ de unde ${\displaystyle xx'y'y''=x'x''yy',}$ deci ${\displaystyle xy''=yx'',}$ adică ${\displaystyle (x,y)\sim (x'',y''),}$ deci relația ${\displaystyle \sim }$ este și tranzitivă, de unde concluzia că ${\displaystyle \sim }$ este o echivalență pe ${\displaystyle M'}$.