Inegalitatea lui Karamata

Acest articol are nevoie de ajutorul dumneavoastră.
Puteți contribui la dezvoltarea și îmbunătățirea lui apăsând butonul Modificare.
Acest articol sau această secțiune nu este în formatul standard.
Ștergeți eticheta la încheierea standardizării.
Acest articol a fost etichetat în iunie 2012

Inegalitatea lui Karamata este o inegalitate puternică bazată pe convexitate.

Forma ponderată

Teoremă. Daca f este funcție convexă pe intervalul I, atunci

p 1 f ( x 1 ) + p 2 f ( x 2 ) + . . . + p n f ( x n ) ≥ p 1 f ( y 1 ) + p 2 f ( y 2 ) + . . . + p n f ( y n ) {\displaystyle p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+...+p_{n}f(x_{n})\geq p_{1}f(y_{1})+p_{2}f(y_{2})+...+p_{n}f(y_{n})}

pentru orice x 1 ≥ x 2 ≥ . . . ≥ x n , y 1 ≥ y 2 ≥ . . . ≥ y n {\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n},y_{1}\geq y_{2}\geq ...\geq y_{n}} sunt din intervalul I {\displaystyle I} și

p 1 x 1 ≥ p 1 y 1 {\displaystyle p_{1}x_{1}\geq p_{1}y_{1}}

p 1 x 1 + p 2 x 2 ≥ p 1 y 1 + p 2 y 2 {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}

. . . {\displaystyle ...}

p 1 x 1 + p 2 x 2 + . . . + p n − 1 x n − 1 ≥ p 1 y 1 + p 2 y 2 + . . . + p n − 1 y n − 1 {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...+p_{n-1}x_{n-1}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n-1}y_{n-1}}

p 1 x 1 + p 2 x 2 + . . . p n x n = p 1 y 1 + p 2 y 2 + . . . + p n y n {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...p_{n}x_{n}=p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n}y_{n}} p 1 , p 2 , . . . , p n ≥ 0 {\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}\geq 0} si n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} dacă f {\displaystyle f} este strict convexă, inegalitatea are loc dacă

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}

Legături externe

  • Inegalitatea lui Karamata[nefuncțională]
 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.