Formula lui Moivre

Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:

cos ⁡ x = 1 2 ( cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) ) 1 / n + 1 2 ( cos ⁡ ( n x ) − i sin ⁡ ( n x ) ) 1 / n , {\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\frac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n},}

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = r n ( cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x ) , r = a 2 + b 2 , a = c o s x , b = s i n x {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx),r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},a=cosx,b=sinx}     (formula lui Moivre)

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru n = 1 {\displaystyle n=1} formula este verificată.

Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru n = k {\displaystyle n=k} adică:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k = r k ( cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x ) , a = c o s x , b = s i n x {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k}=r^{k}(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx}

și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru n = k + 1. {\displaystyle n=k+1.}

Într-adevăr, ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k + 1 = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k ⋅ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = ( cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x ) ⋅ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k+1}=(\cos x+i\sin x)^{k}\cdot (\cos x+i\sin x)=(\cos kx+i\sin kx)\cdot (\cos x+i\sin x)=}

= ( cos ⁡ k x ⋅ cos ⁡ x − sin ⁡ k x ⋅ sin ⁡ x ) + i ( sin ⁡ k x ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ k x ) = cos ⁡ ( k + 1 ) x + i sin ⁡ ( k + 1 ) x . {\displaystyle =(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos(k+1)x+i\sin(k+1)x.}

Cazul puterii cu exponent rațional

Formula lui Moivre este valabilă și pentru n ∈ Z . {\displaystyle n\in \mathbb {Z} .} întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} și se ia x = 2 k π , {\displaystyle x=2k\pi ,} se obține:

1 1 / n = cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n , {\displaystyle 1^{1/n}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},}

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea { 0 , 1 , 2 , ⋯ , n − 1 } . {\displaystyle \{0,1,2,\cdots ,n-1\}.} Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.