Dodecaedru rombic

Dodecaedru rombic
(animație și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	12 romburi
Laturi (muchii)	24
Vârfuri	14
χ	2
Configurația feței	V3.4.3.4
Simbol Conway	jC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Oh, B3, [4,3], (*432)
Grup de rotație	O, [4,3]+, (432)
Arie	≈ 11,314 a2   (a = latura)
Volum	≈   3,079 a3   (a = latura)
Unghi diedru	120°
Poliedru dual	Cuboctaedru
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe și pe laturi, paraleloedru, zonoedru
Desfășurată

În geometrie un dodecaedru rombic este un poliedru Catalan cu 12 fețe congruente. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Este tranzitiv pe fețe și pe laturi

Proprietăți

Dodecaedrul rombic este un zonoedru. Dualul tetraedrului triakis este cuboctaedrul. Lungimea diagonalei lungi a feței este exact de √2 ori lungimea diagonalei scurte; astfel, unghiurile ascuțite de pe fiecare față măsoară arccos(1/3), adică aproximativ 70,53°.

Fiind dualul unui poliedru arhimedic, dodecaedrul rombic este tranzitiv pe fețe, adică grupul de simetrie al poliedrului acționează tranzitiv pe setul său de fețe. În termeni elementari, aceasta înseamnă că pentru oricare două fețe A și B, există o rotație sau reflexie a poliedrului care ocupă aceeași regiune a spațiului când fața A este aplicată pe fața B.

Dodecaedrul rombic poate fi perceput ca anvelopa convexă a reuniunii vârfurilor unui cub și ale unui octaedru. Cele 6 vârfuri unde se întâlnesc 4 romburi corespund vârfurilor octaedrului, în timp ce cele 8 vârfuri unde se întâlnesc 3 romburi corespund vârfurilor cubului.

Dodecaedrul rombic este unul dintre cele nouă poliedre convexe tranzitiv pe laturi, celelalte fiind cele cinci poliedre platonice, cuboctaedrul, icosidodecaedrul și triacontaedrul rombic.

Dodecaedrul rombic poate fi folosit pentru a tesela spațiu tridimensional: poate fi aranjat pentru a umple un spațiu tridimensional, la fel ca hexagonul umple un plan.

Acest poliedru într-o teselare de umplere a spațiului poate fi perceput ca o teselare Voronoi^⁠(d) a unei rețele cubice cu fețe centrate.

Un dodecaedru rombic poate fi divizat în 4 trapezoedre trigonale obtuze situate în jurul centrului său. Aceste romboedre sunt celulele unui fagure trapezoedric trigonal.

Dimensiuni

Se notează cu a lungimea laturii dodecaedrului rombic.

Raza sferei încrise (tangentă la toate fețele dodecaedrului rombic) este^[1]

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}~a\approx 0,816\,496\,5809~a}$

Raza sferei mediane este^[2]

${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}~a\approx 0,942\,809\,041\,58~a}$

Raza sferei care trece prin cele 6 vârfuri de ordinul 4 (unde se întâlnesc câte patru fețe), dar nu și prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este^[3]

${\displaystyle r_{\mathrm {o} }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}~a\approx 1,154\,700\,538~a}$

Raza sferei care trece prin cele 8 vârfuri de ordinul 3 este exact de lungimea laturilor

${\displaystyle r_{\mathrm {t} }=a}$

Aria și volumul

Dacă laturile au lungimea a, aria și volumul dodecaedrului rombic sunt

${\displaystyle A=8{\sqrt {2}}~a^{2}\approx 11,313\,7085~a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}~a^{3}\approx 3,079\,201\,44~a^{3}}$

Coordonate carteziene

Variații piritoedrice între cub și dodecaedru rombic

Expandare a dodecaedrului rombic

Cele opt vârfuri în care trei fețe se întâlnesc la unghiurile lor obtuze au coordonatele carteziene:

(±1, ±1, ±1)

Coordonatele celor șase vârfuri unde patru fețe se întâlnesc la unghiurile lor ascuțite sunt:

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) și (0, 0, ±2).

Dodecaedrul rombic poate fi văzut ca un caz limită degenerat al unui piritoedru, cu permutarea coordonatelor (±1, ±1, ±1) și (0, 1 + h, 1 − h²) cu parametrul h = 1.

Proiecții ortogonale

Dodecaedrul rombic are patru proiecții ortogonale particulare, de-a lungul axelor sale de simetrie, centrate pe față, pe latură și pe două tipuri de vârfuri, cu 3 și 4 poziții. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B₂ și A₂.

Proiecții ortogonale

Simetrie proiectivă	[4]	[6]	[2]	[2]
Dodecaedru rombic
Cuboctaedru (dual)

Poliedre înrudite

Poliedre octaedrice uniforme     v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele celor de mai sus
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Când sunt proiectate pe o sferă (v. figura din dreapta), se poate observa că laturile alcătuiesc laturile a două tetraedre dispuse în pozițiile lor duale (stella octangula). Această tendință continuă cu icositetraedrul deltoidal și hexecontaedrul deltoidal pentru perechile duale ale celorlalte poliedre regulate (împreună cu bipiramida triunghiulară dacă se iau în considerare pavările improprii), dând acestei forme denumirea sistematică alternativă de dodecaedru deltoidal.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4

Simetrie *n32 [n,3]	Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paracomp.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Config. feței	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Acest poliedru este o parte dintr-o succesiune de poliedre rombice și pavări cu simetria [n,3] din grupul Coxeter. Cubul poate fi considerat un hexaedru rombic unde romburile sunt pătrate.

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(3.n)2
*n32	Sferice			Euclidiană	Hiperbolice
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Pavare
Conf.	V(3.3)2	V(3.4)2	V(3.5)2	V(3.6)2	V(3.7)2	V(3.8)2	V(3.∞)2

Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)2
Simetrie *4n2 [n,4]	Sferică	Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracompactă	Necompactă
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Pavare   Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Similar, se înrudește cu seria infinită de pavări cu configurațiile fețelor V3.2n.3.2n, prima în planul euclidian, iar restul în planul hiperbolic.

V3.4.3.4 (reprezentată ca desfășurată)

V3.6.3.6 Pavare euclidiană pavare rombică

V3.8.3.8 Pavare hiperbolică (reprezentată în modelul discului Poincaré)

Stelări

La fel cu multe poliedre convexe, dodecaedrul rombic poate fi stelat prin extinderea fețelor sau laturilor până când se întâlnesc pentru a forma un nou poliedru. Mai multe astfel de stelări au fost descrise de Dorman Luke.^[4] Prima stelare, numită adesea simplu dodecaedrul rombic stelat, este binecunoscută. Poate fi considerată un dodecaedru rombic cu fiecare față augmentată prin atașarea unei piramide cu baza un romb, cu înălțimea piramidei astfel încât laturile să se afle în planele fețelor învecinate.

Luke mai descrie patru stelări: a doua și a treia stelare (expandându-se spre exterior), una formată prin îndepărtarea celei de-a doua dintr-a treia și alta prin adăugarea dodecaedrului rombic original înapoi la precedenta.

Stelări ale dodecaedrului rombic

Prima	A doua	A treia
Dodecaedrul rombic stelat		Marele dodecaedru rombic stelat

Note

Bibliografie

• en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
• en Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511569371. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208.  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron)
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008). The Symmetries of Things ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic dodecahedron)

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Rhombic dodecahedron la MathWorld.
• en Eric W. Weisstein, Catalan solid la MathWorld.
• en Virtual Reality Polyhedra – The Encyclopedia of Polyhedra