Determinant (matematică)

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Primele aplicații: arii și volume

Determinantul unei matrici 2×2

Fie matricea de tip 2×2: A = [ a b c d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

determinantul acesteia este:

det ( A ) = a d − b c   {\displaystyle \det(A)=ad-bc\ }

Interpretare vectorială

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

det ( X , X ′ ) = | x x ′ y y ′ | = x y ′ − y x ′ {\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'}

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

det ( X , X ′ ) = ‖ X ‖ ⋅ ‖ X ′ ‖ ⋅ sin ⁡ θ {\displaystyle \det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta }

unde θ {\displaystyle \theta } este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Determinantul unei matrici 3×3

Fie matricea de tip 3×3:

A = [ a b c d e f g h i ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}

Dezvoltând după prima linie, obținem: det ( A ) = a | e f h i | − b | d f g i | + c | d e g h | = a e i − a f h − b d i + b f g + c d h − c e g = ( a e i + b f g + c d h ) − ( g e c + h f a + i d b ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\&=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb),\end{aligned}}}

Interpretare geometrică

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

det ( X , Y , Z ) = | a b c d e f g h i | {\displaystyle \det(X,Y,Z)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}} .

Proprietăți

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
  1. Determinantul unei matrice A {\displaystyle \mathrm {A} } este egal cu determinantul matricei transpuse t A : d e t ( A ) = d e t ( t A ) {\displaystyle {}^{t}\!A:det(A)=det({}^{t}\!A)} .
  2. Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei A {\displaystyle \mathrm {A} } se înmulțesc cu un număr k {\displaystyle {\mbox{k}}} , se obține o matrice C {\displaystyle \mathrm {C} } al cărei determinant este egal cu k ∗ d e t ( A ) {\displaystyle k*det(A)} .
  4. Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
  5. Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
    Consecință:
    Fie d = | a i , j | n {\displaystyle d=|a_{i,j}|_{n}} un determinant de ordinul n {\displaystyle {\mbox{n}}} . Pentru orice i ≠ j {\displaystyle i\neq \;j} au loc egalitățile:
    1. a i 1 δ j 1 + a i 2 δ j 2 + . . . + a i n δ j n = 0 {\displaystyle a_{i1}\delta _{j1}+a_{i2}\delta _{j2}+...+a_{in}\delta _{jn}=0}
    2. a 1 j δ 1 i + a 2 j δ 2 i + . . . + a n j δ n i = 0 {\displaystyle a_{1j}\delta _{1i}+a_{2j}\delta _{2i}+...+a_{nj}\delta _{ni}=0}

Vezi și

Bibliografie

  • Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977

Legături externe

  • en Sisteme liniare
  • en Online Matrix Calculator
  • ro Tutorial video dezvoltarea determinanților după linie pe YouTube
  • ro Tutorial video dezvoltarea determinanților după coloană pe YouTube