Criteriul radicalului (Cauchy)

În matematică, criterul radicalului (Cauchy) se aplică pentru determinarea naturii seriei

∑ n = 1 ∞ a n . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}

Este foarte folositor atunci când se aplică seriilor exponențiale. Acest criteriu a fost creat de Cauchy, de aceea mai este numit și criteriul Cauchy. Criteriul radicalului folosește numărul

C = lim sup n → ∞ | a n | n , {\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}

unde "lim sup" înseamnă limită superioară.

Criteriul radicalului spune că:

  • Dacă C < 1 atunci seria este absolut convergentă.
  • Dacă C > 1 atunci seria este divergentă.

Daca C = 1, criteriul nu este suficient pentru a dertermina naturii seriei.

Exemplu

Seria ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 n ) n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n^{2}}} este divergentă deoarece lim n → ∞ a n n = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e > 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e>1.}