Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație

Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
Descriere
Tipcompus poliedric uniform
UC12 - UC13 - UC14
Fețe160 (triunghiuri)
Laturi (muchii)240
Vârfuri120
Configurația vârfului3.3.3.3[1]
Configurația fețeiV4.4.4
Grup de simetrie
  • Compus: icosaedrică (Ih)
  • Constituenți: ciclică (S6)
Volum≈9,428 a3   (a = latura)
ProprietățiConstituenți: 20 octaedre
Figura vârfului

În geometrie compusul de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație este un compus poliedric uniform realizat dintr-un aranjament simetric de 20 de octaedre, considerate ca antiprisme.[2]

Are indicele de compus uniform UC13.[2]

Construcție

Poate fi construit prin suprapunerea a două copii de Compus de zece octaedre (UC16) și apoi rotirea octaedrelor componente în perechi cu un unghi egal (și opus, într-o pereche) θ.

Când θ = 0 sau θ = 60°, octaedrele coincid în perechi dând două copii suprapuse ale compușilor de zece octaedre UC15 și respectiv UC16. Pentru

θ = 2 arctg ⁡ ( 1 3 ( 13 − 4 10 ) ) ≈ 37 , 76124 ∘ , {\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37,76124^{\circ },}

octaedrele din axe de rotație diferite coincid în seturi de câte patru, dând compusul de cinci octaedre. Pentru

θ = 2 arctg ⁡ ( − 4 3 − 2 15 + 132 + 60 5 4 + 2 + 2 5 + 10 ) ≈ 14 , 33033 ∘ , {\displaystyle \theta =2\operatorname {arctg} \left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14,33033^{\circ },}

vârfurile coincid în perechi, rezultând compusul de douăzeci de octaedre (UC14, fără libertate de rotație).

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt toate permutările ciclice ale

( ± 2 3 sin ⁡ θ , ± ( φ − 1 2 + 2 φ cos ⁡ θ ) , ± ( φ 2 − 2 φ − 1 cos ⁡ θ ) ) ( ± ( 2 − φ 2 cos ⁡ θ + φ − 1 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 2 + ( 2 φ − 1 ) cos ⁡ θ + 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 2 + φ − 2 cos ⁡ θ − φ 3 sin ⁡ θ ) ) ( ± ( φ − 1 2 − φ cos ⁡ θ − φ 3 sin ⁡ θ ) , ± ( φ 2 + φ − 1 cos ⁡ θ + φ − 1 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 3 cos ⁡ θ − 3 sin ⁡ θ ) ) ( ± ( − φ − 1 2 + φ cos ⁡ θ − φ 3 sin ⁡ θ ) , ± ( φ 2 + φ − 1 cos ⁡ θ − φ − 1 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 3 cos ⁡ θ + 3 sin ⁡ θ ) ) ( ± ( − 2 + φ 2 cos ⁡ θ + φ − 1 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 2 + ( 2 φ − 1 ) cos ⁡ θ − 3 sin ⁡ θ ) , ± ( 2 + φ − 2 cos ⁡ θ + φ 3 sin ⁡ θ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+2\varphi \cos \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}-2\varphi ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}-\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-\varphi ^{-1}{\sqrt {2}}+\varphi \cos \theta -\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\varphi {\sqrt {2}}+\varphi ^{-1}\cos \theta -\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&{\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\varphi ^{2}\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\varphi -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\varphi ^{-2}\cos \theta +\varphi {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}}

unde φ = (1 + √5)/2 este secțiunea de aur.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

V = 20 2 3 a 3 ≈ 9 , 428090   a 3 . {\displaystyle V={\frac {20{\sqrt {2}}}{3}}\,a^{3}\approx 9,428090~a^{3}.}

Imagini

  • Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
  • Compusul cu θ = 0°
    Compusul cu θ = 0°
  • Compusul cu θ = 5°
    Compusul cu θ = 5°
  • Compusul cu θ = 10°
    Compusul cu θ = 10°
  • Compusul cu θ = 15°
    Compusul cu θ = 15°
  • Compusul cu θ = 20°
    Compusul cu θ = 20°
  • Compusul cu θ = 25°
    Compusul cu θ = 25°
  • Compusul cu θ = 30°
    Compusul cu θ = 30°
  • Compusul cu θ = 35°
    Compusul cu θ = 35°
  • Compusul cu θ = 40°
    Compusul cu θ = 40°
  • Compusul cu θ = 45°
    Compusul cu θ = 45°
  • Compusul cu θ = 50°
    Compusul cu θ = 50°
  • Compusul cu θ = 55°
    Compusul cu θ = 55°
  • Compusul cu θ = 60°
    Compusul cu θ = 60°

Note

  1. ^ addasi, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
  2. ^ a b en Skilling, John (), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 

Vezi și

Compuși de octaedre

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Polyhedron Category C9: Octahedral Continuums Oddasi, Iddasi, Giddasi