0,(9)=1

În matematică, 0,(9) (notat și 0,999...; ambele notații desemnează un zero, urmat de un număr infinit de zecimale cu valoarea 9) este o fracție periodică, egală cu 1. Cu alte cuvinte, următoarele trei simboluri:

  • 0,(9)
  • 0,999...
  • 1

reprezintă același număr (real, rațional, întreg și natural).

ipoteză   10 × 0,999… = 9,999…
ipoteză   c = 0,999…
pasul 1   10c = 9,999…
pasul 2   10c - c = 9,999… − 0,999…  
pasul 3   9c = 9
concluzie   c = 1

Demonstrația faptului că 0,(9) este de fapt 1 se poate realiza în mai multe modalități. Una din acestea se bazează pe noțiunea de limită a unui șir:

0.999 … = lim n → ∞ 0. 99 … 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1. {\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,}

Vezi și

Legături externe

Materiale media legate de 0,(9) la Wikimedia Commons

  • en .999999... = 1? from cut-the-knot.org
  • en Why does 0.9999… = 1 ?
  • en Ask A Scientist: Repeating Decimals
  • en Repeating Nines
  • en Point nine recurring equals one
  • en David Tall's research on mathematics cognition
  • en 0.999... and Infinity