Trissectriz de Maclaurin

Em geometria, a trissectriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissectriz, isto é, ela pode ser utilizada para trissecionar ângulos. Tal propriedade pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de interseção de duas retas, cada uma girando a uma velocidade uniforme sobre pontos distintos, de tal forma que a relação entre as taxas de rotação é de 1/3 e as retas inicialmente coincidem com a reta divisória entre os dois pontos. A generalização deste tipo de construção é chamada sectriz de Maclaurin. O nome da curva foi dado em homenagem a Colin Maclaurin que a investigou em 1742.

Equações

Considere duas retas que giram em torno dos pontos ${\displaystyle P=(0,0)}$ e ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ de modo que quando a reta sobre ${\displaystyle P}$ forma um ângulo ${\displaystyle \theta }$ com o eixo x, a reta sobre ${\displaystyle P_{1}}$ forma um ângulo ${\displaystyle 3\theta }$. Seja ${\displaystyle Q}$ o ponto da intersecção. Então o ângulo formado pelas retas em ${\displaystyle Q}$ é ${\displaystyle 3\theta }$. Pela lei dos senos,

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }}$

de modo que a equação em coordenadas polares é (sob uma translação e rotação)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Assim, a curva pertence à família das concóides de Sluze.

Em coordenadas cartesianas, sua equação é

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$.

Se a origem é transladada para (a, 0), então uma dedução semelhante à acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares se torna

${\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3}}}}$

O que a torna um exemplo de epispiral.

A propriedade da trissecção

Dado um ângulo ${\displaystyle \phi }$, desenhemos um raio de circunferência no ponto ${\displaystyle (a,0)}$, cujo ângulo com o eixo ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \phi }$. Desenhemos um raio de circunferência na origem até o ponto onde o primeiro raio de circunferência intersecta a curva. Então, através do gráfico da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \phi /3}$.

Principais pontos e características

A curva intercepta o eixo x em em ${\displaystyle 3a \over 2}$, além de um ponto duplo na origem. A reta vertical ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ é uma assíntota. A curva intersecta a reta x = a (o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto) em ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$. Como toda cúbica nodal, a curva possui ordem zero.

Relação com outras curvas

A trissectriz de Maclaurin pode ser definida a partir de secções cônicas de três maneiras. Especificamente:

• É inversa em relação ao círculo unitário da hipérbole

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})}$.

• É cissóide ao círculo

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

e à reta ${\displaystyle x={a \over 2}}$ em relaçao à origem.

• É pedal em relação à origem da parábola

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

Além disso:

• A inversa em relação ao ponto ${\displaystyle (a,0)}$ é a trissectriz de Limaçon.

• A trissectrix de Maclaurin está relacionada com o folium de Descartes através de transformações afins.

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Trisectrix of Maclaurin», especificamente desta versão.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5 
• Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix» (em inglês). MathWorld 
• "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Trisectrix of MacLaurin" on 2dcurves.com
• "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves
• "Trisectrice de Maclaurin" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ligações externas

• Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI