Trissecção do ângulo

Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.[1]

O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.

Aproximação geométrica

Trissecção aproximada

Considerando ∠AOB = 2a e ∠HOG = 2x, verifica-se que no triângulo ΔOCF temos que o ângulo ∠OCF = ½(a + x) pois é um ângulo inscrito na circunferência que compreende um arco de medida a + x, e também temos que ∠CFO = ½(a − x) pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ângulo oposto ao ângulo ∠EOB = a pelo vértice, que por outro lado, ele é ângulo externo ao triângulo ΔOCF não adjacente aos ângulos ∠OCF = ½(a + x) e ∠CFO, então:

C F ^ O = a − a + x 2 = a − x 2 {\displaystyle C{\hat {F}}O=a-{\frac {a+x}{2}}={\frac {a-x}{2}}}

Utilizando a lei dos senos e cossenos no triângulo ΔOCF e considerando os lados OF e OC que medem respectivamente 2.r e r, onde r é o raio da circunferência construída temos:

2. r sen ⁡ a + x 2 = r sen ⁡ a − x 2 ⟺ sen ⁡ a − x 2 sen ⁡ a + x 2 = 1 2 ⋅ {\displaystyle {\frac {2.r}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {r}{\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}}\Longleftrightarrow {\frac {\operatorname {sen} {\frac {a-x}{2}}}{\operatorname {sen} {\frac {a+x}{2}}}}={\frac {1}{2}}\cdot }

Com a segunda igualdade chegamos a:

( sen a / 2 ) . ( cos ⁡ x / 2 ) − ( sen x / 2 ) . ( cos ⁡ a / 2 ) ( sen a / 2 ) . ( cos ⁡ x / 2 ) + ( sen x / 2 ) . ( cos ⁡ a / 2 ) = 1 2 {\displaystyle {\frac {(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)-(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}{(\operatorname {sen} \,a/2).(\cos x/2)+(\operatorname {sen} \,x/2).(\cos a/2)}}={\frac {1}{2}}}

Dividindo o numerador e o denominador do primeiro membro da expressão anterior, temos: ( tan ⁡ a / 2 ) − ( tan ⁡ x / 2 ) ( tan ⁡ a / 2 ) + ( tan ⁡ x / 2 ) = 1 2 {\displaystyle {\frac {(\tan a/2)-(\tan x/2)}{(\tan a/2)+(\tan x/2)}}={\frac {1}{2}}} .

Com isso mostra-se que tan ⁡ x 2 = 1 3 tan ⁡ a 2 {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1}{3}}\tan {\frac {a}{2}}} . Conclui-se então que x é aproximadamente a 3 {\displaystyle {\frac {a}{3}}} .

Solução algébrica

Seja cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )\,} um número construtível. Então o ângulo θ {\displaystyle \theta \,} pode ser trissecado com régua e compasso se a equação polinomial p ( t ) = 4   t 3   −   3   t − cos ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle p(t)=4\ t^{3}\ -\ 3\ t-\cos(\theta )=0\,} tiver uma solução construtível.
Por exemplo, o ângulo π / 3 {\displaystyle \pi /3\,} (60 graus) não é construtível, porque o polinômio 2   p ( t ) = 8   t 3   −   6   t − 1 {\displaystyle 2\ p(t)=8\ t^{3}\ -\ 6\ t-1\,} é irredutível (se não fosse, ele teria uma raiz racional da forma p / q {\displaystyle p/q\,} com p = 1 {\displaystyle p=1\,} ou − 1 {\displaystyle -1\,} e q = 1 , 2 , 4 {\displaystyle q=1,2,4\,} ou 8 {\displaystyle 8\,} ; é fácil verificar que nenhum destes número é raiz de p ( t ) {\displaystyle p(t)\,} .[2]
A irreducibilidade de p ( t ) {\displaystyle p(t)\,} mostra que as suas raízes são de grau 3, portanto não são construtíveis.

Construção geométrica

Traçado com régua e compasso:[1]

  • Trace uma circunferência auxiliar,
  • Prolongue o segmento BO e determine o ponto C na circunferência,
  • Prolongue o segmento AO e determine o ponto D na circunferência,
  • Trace a bissetriz do ângulo AOB,
  • O segmento EO tem a mesma medida do segmento EF,
  • Ligue os pontos C e D no ponto F,
  • Os pontos H e G dividem a circunferência em 3 partes iguais (aproximadamente).

Ver também

Notas e referências

  1. ↑ a b Giongo, Afonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954. p.14
  2. ↑ Ver raízes racionais de polinômios com coeficientes inteiros

Referências

  • Boyer, Carl B. (1996). História da matemática. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 85-212-0023-4.
  • Portal da matemática
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