Teorema espectral

Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.^[1][2]

Tipos

Para operadores auto-adjuntos

Seja ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ um operador auto-adjunto e V um espaço vetorial complexo ou real de dimensão n. Então existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.^[3][1]

Para operadores normais

Seja ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ um operador linear e V um espaço vetorial complexo de dimensão n. Então T é normal se, e somente se, existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T. Note que, como todo operador unitário é normal, o teorema pode ser estendido a operadores desse tipo.^[3][1]

Para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert

Seja ${\displaystyle H\,}$ um espaço de Hilbert separável e ${\displaystyle T:H\to H\,}$ um operador compacto auto-adjunto, então existe uma família ortonormal de autovetores ${\displaystyle \{v_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,}$ com autovalores associados ${\displaystyle \lambda _{j}\,}$ tais que:^[3]

${\displaystyle Tx=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\langle x,v_{j}\rangle v_{j}\,}$

Ver também

• Medida espectral
• Decomposição em Valores Singulares

Referências