Teorema de Lindemann–Weierstrass

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a constante matemática π
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Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
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Tópicos relacionados
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Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler
v d e

O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α₁, α₂, ...,α_n são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, então ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}}$ são algebricamente independentes sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é n.

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que e^α é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.

Transcendência de e e π

A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.

Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {e^α} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, e^α é transcendente. Em particular, e¹ = e é transcendente.

Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e^2πi = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.

Bibliografia

• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
• F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213–225.

Ver também

• Prova de irracionalidade do número de Euler

Ligações externas

• «Demonstração do teorema de Lindemann-Weierstrass» (em inglês) 

• Portal da matemática