Subgrupo normal

Em matemática e, em especial em teoria dos grupos, um subgrupo normal é um subgrupo que é preservado por conjugação, ou seja, ${\displaystyle \forall n\in N,g\in G,(gng^{-1})\in N\,}$. Em outras palavras, qualquer que seja o elemento x do grupo, os conjuntos x N e N x coincidem.^[1][2][3]

Se H é um subgrupo normal de G, então o quociente G/H admite uma estrutura de grupo, chamada de grupo quociente.

Exemplos

• Se e é o elemento neutro do grupo G, então { e } e G são subgrupos normais de G.
• A interseção de subgrupos normais é um subgrupo normal.
• Seja S um subconjunto de G. Então a interseção (não-vazia) dos subgrupos normais de G que contém S é um subgrupo normal de G. Esse é o menor subgrupo normal que contém S.
• Se o grupo é abeliano, então todo subgrupo é normal.
• Um grupo é simples (ver artigo grupo simples) quando os únicos subgrupos normais são { e } e o próprio grupo. Os grupos ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p},+)\,}$ para p primo , são simples. Os grupos das permutações pares ${\displaystyle A_{n}\,}$ para ${\displaystyle n\geq 5\,}$ são simples. Esse fato é crucial para provar que a equação do quinto grau não é resolúvel por radicais.
• Se ${\displaystyle \phi :G\to H\,}$ é um homomorfismo de grupos, e e é o elemento neutro de H, então ${\displaystyle \phi ^{-1}\{e\}\,}$ é um subgrupo normal de G.

Referências

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