Subgrupo

Definição

Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} um grupo e H {\displaystyle H} um subconjunto não vazio de G {\displaystyle G} . Dizemos que H {\displaystyle H} é um subgrupo de G {\displaystyle G} se H {\displaystyle H} é fechado para a operação de G {\displaystyle G} e é um grupo. Notação: H ≤ G . {\displaystyle H\leq G.}

Exemplos

  • Os subgrupos de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } são os conjuntos n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } dos múltiplos de n {\displaystyle n\,\!} , para cada n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } .
  • ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} é um subgrupo de ( Q , + ) ; {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+);}
  • O conjunto { 1 , i , − i , − 1 } {\displaystyle \{1,i,-i,-1\}} é um subgrupo dos ( C , ⋅ ) {\displaystyle \mathbb {C} ,\cdot )} com a multiplicação usual de números complexos..

Resultado Importante

Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja H {\displaystyle H} um subconjunto não vazio de um grupo G {\displaystyle G} .Então H {\displaystyle H} é um subgrupo de G {\displaystyle G} se e somente se, para todo a , b ∈ H {\displaystyle a,b\in H} implica que a ∗ b − 1 ∈ H . {\displaystyle a*b^{-1}\in H.}

Propriedades hereditárias

Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

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  • v
  • d
  • e