Série geométrica

Progressão geométrica descendente com proporção de 1/4 e prova visual de que o limite da soma das frases é 1/3.

A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 + r + r 2 + r 3 + … {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots }
(Veja somatório)

Esta série é convergente se e somente se | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} e, neste caso, a soma vale:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 − r {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}
(Veja somatório)

Convergência

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

∑ n = N 1 N 2 r n = r N 1 1 − r N 2 − N 1 + 1 1 − r {\displaystyle \sum _{n=N1}^{N2}r^{n}=r^{N1}{\frac {1-r^{N2-N1+1}}{1-r}}}

∑ n = 0 N r n = 1 − r N + 1 1 − r = 1 1 − r − r N + 1 1 − r {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}}
É fácil ver que se | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} então esta série é convergente e sua soma é dada por:
∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 − r {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}

Por outro lado, se | r | ≥ 1 {\displaystyle |r|\geq 1} , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 − r {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}}
Onde "a" é o termo inicial da série.

Exemplos

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

  • 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n ,     | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},~~|x|<1}
  • 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n ,     | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n},~~|x|<1}
  • 1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ,     | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{2n},~~|x|<1}
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