Série binomial

Em matemática, série binomial é uma série de potências do tipo:

( 1 + x ) k = 1 + k x + k ( k − 1 ) 2 ! x 2 + . . . + k ( k − 1 ) . . . ( k − n + 1 ) n ! x n + . . . {\displaystyle (1+x)^{k}=1+kx+{\frac {k(k-1)}{2!}}x^{2}+...+{\frac {k(k-1)...(k-n+1)}{n!}}x^{n}+...}

se | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} e para todo número real k {\displaystyle k} .[1]

Exemplo: Achar uma representação de ( 1 + x ) 1 3 {\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}} , em séries de potências.

Solução: Para k = 1 3 {\displaystyle k={\frac {1}{3}}} , obtemos:

( 1 + x ) 1 3 = 1 + 1 3 x + 1 3 ( 1 3 − 1 ) 2 ! x 2 + . . . + 1 3 ( 1 3 − 1 ) . . . ( 1 3 − n + 1 ) n ! x n + . . . {\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}=1+{\frac {1}{3}}x+{\frac {{\frac {1}{3}}({\frac {1}{3}}-1)}{2!}}x^{2}+...+{\frac {{\frac {1}{3}}({\frac {1}{3}}-1)...({\frac {1}{3}}-n+1)}{n!}}x^{n}+...}

que pode ser escrito como:

( 1 + x ) 1 3 = 1 + 1 3 x + 2 3 2 .2 ! x 2 + . . . + ( − 1 ) n − 1 1.2... ( 3 n − 4 ) 3 n . n ! x n {\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}=1+{\frac {1}{3}}x+{\frac {2}{3^{2}.2!}}x^{2}+...+(-1)^{n-1}{\frac {1.2...(3n-4)}{3^{n}.n!}}x^{n}} +...

Referências

  1. ↑ Swokowski, E.W., “Cálculo com Geometria Analítica”, Volume 2, 2. ed (1926).