Relação antissimétrica

 Nota: Não confundir com Relação assimétrica

Em matemática, uma relação antissimétrica é uma relação binária ${\displaystyle R}$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ quando não há um par de elementos distintos de ${\displaystyle X}$, cada um deles relacionado por ${\displaystyle R}$ ao outro. Mais formalmente, ${\displaystyle R}$ é antissimétrica precisamente se para todos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle X}$

se ${\displaystyle R(a,b)}$ com ${\displaystyle a\neq b}$, então ${\displaystyle R(b,a)}$ não deve existir

ou equivalente,

se ${\displaystyle R(a,b)}$ e ${\displaystyle R(b,a)}$, então ${\displaystyle a=b}$.

em fórmula lógica, temos:

${\displaystyle \left(a,b\right)\in R\land \left(b,a\right)\in R\to \left(a,b\right)=\left(b,a\right)\iff a=b}$

(A definição de antissimetria não diz nada sobre se ${\displaystyle R(a,a)}$ realmente é válido ou não para qualquer ${\displaystyle a}$).

A relação de divisibilidade nos números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, antissimetria significa que a única forma de cada um dos dois números poder ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalentemente, se ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ são distintos e ${\displaystyle n}$ é um fator de ${\displaystyle m}$, então ${\displaystyle m}$ não pode ser um fator de ${\displaystyle n}$. Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.

A relação usual de ordem ${\displaystyle \leq }$ nos números reais é antissimétrica: se para dois números reais ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ ambas as desigualdades ${\displaystyle x\leq y}$ e ${\displaystyle y\leq x}$, então ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ devem ser iguais. Similarmente, a ordem de subconjunto ${\displaystyle \subseteq }$ nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrica: dado dois conjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, se todo elemento em ${\displaystyle A}$ também estiver em ${\displaystyle B}$ e todo elemento em ${\displaystyle B}$ também estiver em ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ devem conter os mesmos elementos e, portanto, ser iguais:

${\displaystyle A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B}$

Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antissimétrica (por exemplo, a relação de igualdade), e existem relações que não são nem simétricas nem antissimétricas (por exemplo, a relação "preda sobre" em espécies biológicas).

A antissimetria é diferente da assimetria, o que requer tanto antissimetria quanto irreflexividade. Assim, toda relação assimétrica é antissimétrica, mas o inverso é falso.

Ver também

• Relação simétrica
• Relação assimétrica
• Simetria

Referências

• Weisstein, Eric W. «Antisymmetric Relation» (em inglês). MathWorld 
• Lipschutz, Seymour; Marc Lars Lipson (1997). Theory and Problems of Discrete Mathematics. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 33. ISBN 0-07-038045-7 
• nLab antisymmetric relation
• Scheinerman, Edward R. (2011). Matemática discreta : uma introdução. São Paulo (SP): Cengage Learning. ISBN 9788522107964. OCLC 817274526