Rapidez (relatividade)

Medida de velocidade relativística
Rapidez é o valor de artanh(v / c) para velocidade v e velocidade de luz c

Na relatividade, a rapidez é comumente usada como uma medida para a velocidade relativística [en]. Matematicamente, a rapidez pode ser definida como o ângulo hiperbólico que diferencia dois quadros de referência (referenciais) em movimento relativo, sendo cada quadro (referencial) associado com coordenadas de distância e tempo.

Para o movimento unidimensional, as rapidezes[1]. são aditivas, enquanto as velocidades devem ser combinadas pela fórmula de adição de velocidade [en] de Einstein. Para baixas velocidades, rapidez e velocidade são quase exatamente proporcionais, mas, para velocidades mais altas, a rapidez assume um valor maior, sendo a rapidez da luz infinita.

Usando a função hiperbólica inversa artanh, a rapidez w correspondente à velocidade v é w = artanh(v / c) onde c é a velocidade da luz. Para baixas velocidades, w é aproximadamente v / c. Como na relatividade qualquer velocidade v é restrita ao intervalo −c < v < c, a razão v / c satisfaz −1 < v / c < 1. A tangente hiperbólica inversa tem o intervalo unitário (−1, 1) para seu domínio e toda a linha real [en] para sua imagem [en]; isto é, o intervalo −c < v < c mapeia para −∞ < w < ∞.

História

Em 1908, Hermann Minkowski explicou como a transformação de Lorentz poderia ser vista simplesmente como uma rotação hiperbólica [en] das coordenadas do espaço-tempo, ou seja, uma rotação através de um ângulo imaginário.[2] Este ângulo, portanto, representa (em uma dimensão espacial) uma simples medida aditiva da velocidade entre os quadros.[3] O parâmetro de rapidez, que substitui a velocidade, foi introduzido (em 1910) por Vladimir Varićak[4] e por E. T. Whittaker.[5] O parâmetro foi denominado rapidez por Alfred Robb (1911)[6] e este termo foi adotado por muitos autores posteriores, como Ludwik Silberstein (em 1914), Frank Morley (em 1936) e Wolfgang Rindler (em 2001).

Área de um setor hiperbólico

A quadratura [en] da hipérbole xy = 1 de Grégoire de Saint-Vincent estabeleceu o logaritmo natural como a área de um setor hiperbólico, ou uma área equivalente contra uma assíntota. Na teoria do espaço-tempo, a conexão de eventos pela luz divide o universo em passado, futuro ou outro lugar com base no aqui e agora.[necessário esclarecer] Em qualquer linha do espaço, um feixe de luz pode ser direcionado para a esquerda ou para a direita. Tome o eixo x como os eventos passados pelo feixe direito e o eixo y como os eventos do feixe esquerdo. Então um quadro (referencial) em repouso tem tempo ao longo da diagonal x = y. A hipérbole retangular xy = 1 pode ser usada para medir velocidades (no primeiro quadrante). A velocidade zero corresponde a (1,1). Qualquer ponto na hipérbole tem coordenadas de cone de luz [en] ( e w ,   e − w ) {\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})} onde w é a rapidez e é igual à área do setor hiperbólico de (1,1) para essas coordenadas. Muitos autores referem-se, em vez disso, à unidade hipérbole [en] x 2 − y 2 , {\displaystyle x^{2}-y^{2},} usando a rapidez como parâmetro, como no diagrama de espaço-tempo [en] padrão. Lá, os eixos são medidos por relógio e medidor, referências mais familiares e a base da teoria do espaço-tempo. Portanto, o delineamento da rapidez como parâmetro hiperbólico do espaço-feixe é uma referência[necessário esclarecer] à origem do século XVII de nossas preciosas funções transcendentes e um suplemento à diagramação do espaço-tempo.

Impulso de Lorentz

A rapidez w surge na representação linear de um impulso de Lorentz [en] como um produto vetor-matriz

( c t ′ x ′ ) = ( cosh ⁡ w − sinh ⁡ w − sinh ⁡ w cosh ⁡ w ) ( c t x ) = Λ ( w ) ( c t x ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.}
[a]

A matriz Λ(w) é do tipo ( p q q p ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}} com p e q satisfazendo p2 – q2 = 1, de modo que (p, q) está na hipérbole unitária [en]. Tais matrizes formam o grupo ortogonal indefinido O(1,1) [en] com álgebra de Lie unidimensional expandida pela matriz de unidade anti-diagonal, mostrando que a rapidez é a coordenada nesta álgebra de Lie. Esta ação pode ser representada em um diagrama de espaço-tempo [en]. Na notação exponencial de matriz, Λ(w) pode ser expresso como Λ ( w ) = e Z w {\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}} , onde Z é o negativo da matriz da unidade anti-diagonal

Z = ( 0 − 1 − 1 0 ) . {\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}

Não é difícil provar que

Λ ( w 1 + w 2 ) = Λ ( w 1 ) Λ ( w 2 ) . {\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).}

Isso estabelece a útil propriedade aditiva da rapidez: se A, B e C são quadros de referência (referenciais), então

w AC = w AB + w BC {\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}

onde wPQ denota a rapidez de um quadro de referência (referencial) Q em relação a um quadro de referência (referencial) P. A simplicidade desta fórmula contrasta com a complexidade da correspondente fórmula de adição de velocidade [en].

Como podemos ver na transformação de Lorentz acima, o fator de Lorentz se identifica com cosh w

γ = 1 1 − v 2 / c 2 ≡ cosh ⁡ w , {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w,}

então a rapidez w é implicitamente usada como um ângulo hiperbólico nas expressões de transformação de Lorentz usando γ e β. Relacionamos rapidezes com a fórmula de adição de velocidade [en]

u = u 1 + u 2 1 + u 1 u 2 c 2 {\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}}

ao reconhecer

β i = u i c = tanh ⁡ w i {\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}

e assim

tanh ⁡ w = tanh ⁡ w 1 + tanh ⁡ w 2 1 + tanh ⁡ w 1 tanh ⁡ w 2 = tanh ⁡ ( w 1 + w 2 ) {\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})}

A aceleração própria [en] (a aceleração "sentida" pelo objeto que está sendo acelerado) é a taxa de variação da rapidez em relação ao tempo próprio (tempo medido pelo próprio objeto em aceleração). Portanto, a rapidez de um objeto em um determinado quadro de referência (referencial) pode ser vista simplesmente como a velocidade desse objeto, como seria calculada de forma não relativística por um sistema de orientação inercial a bordo do próprio objeto se ele acelerasse do repouso naquele quadro de referência (referencial) até sua velocidade dada.

O produto de β e γ aparece com frequência e é dos argumentos acima

β γ = tanh ⁡ w cosh ⁡ w = sinh ⁡ w {\displaystyle \beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}
[a]

Relações exponenciais e logarítmicas

Das expressões acima temos

e w = γ ( 1 + β ) = γ ( 1 + v c ) = 1 + v c 1 − v c , {\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},}

e assim

e − w = γ ( 1 − β ) = γ ( 1 − v c ) = 1 − v c 1 + v c . {\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}

ou explicitamente

w = ln ⁡ [ γ ( 1 + β ) ] = − ln ⁡ [ γ ( 1 − β ) ] . {\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}

O fator de desvio Doppler associado à rapidez w é k = e w {\displaystyle k=e^{w}} .

Em física de partículas experimental

A energia E e o momento escalar |p| de uma partícula de massa diferente de zero (repouso) m são dadas por:

E = γ m c 2 | p | = γ m v . {\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}}

Com a definição de w 


  
    
      
        w
        =
        artanh
        ⁡
        
          
            v
            c
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}

e assim com

cosh ⁡ w = cosh ⁡ ( artanh ⁡ v c ) = 1 1 − v 2 c 2 = γ {\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }
sinh ⁡ w = sinh ⁡ ( artanh ⁡ v c ) = v c 1 − v 2 c 2 = β γ , {\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}
[a]

a energia e o momento escalar podem ser escritos como:

E = m c 2 cosh ⁡ w | p | = m c sinh ⁡ w . {\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}}
[a]

Assim, a rapidez pode ser calculada a partir da energia e do momento medidos por

w = artanh ⁡ | p | c E = 1 2 ln ⁡ E + | p | c E − | p | c = ln ⁡ E + | p | c m c 2   . {\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}

No entanto, os físicos de partículas experimentais costumam usar uma definição modificada de rapidez em relação a um eixo de feixe

y = 1 2 ln ⁡ E + p z c E − p z c , {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}

onde pz é o componente do momento ao longo do eixo do feixe.[7] Esta é a rapidez do impulso ao longo do eixo do feixe que leva um observador do quadro do laboratório para um quadro no qual a partícula se move apenas perpendicularmente ao feixe. Relacionado a isso está o conceito de pseudorapidez [en].

A rapidez relativa a um eixo de feixe também pode ser expressa como

y = ln ⁡ E + p z c m 2 c 4 + p T 2 c 2   . {\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}

Ver também

Nota

  1. ↑ a b c d A notação para seno (sen) está em inglês (sin).

Referências

  1. ↑ «Significado de rapidezes». Consultado em 28 de março de 2023 
  2. ↑ Hermann Minkowski, 1908, Equações fundamentais para processos eletromagnéticos em corpos em movimento (em inglês) via Wikisource
  3. ↑ Sommerfeld, Diário físico (em alemão), 1909
  4. ↑ Vladimir Varićak, 1910, Aplicação da geometria lobachevskiana na teoria da relatividade (em inglês), Diário físico, via Wikisource
  5. ↑ E. T. Whittaker, 1910, Uma história das teorias do éter e da eletricidade (em inglês), página 441.
  6. ↑ Alfred Robb, 1911, Geometria óptica de movimento (em inglês), página 9
  7. ↑ Amsler, C. et al., "The review of particle physics" (em inglês), Physics letters B, 667 (2008) 1, Seção 38.5.2

Bibliografia

  • Vladimir Varićak (1910, 1912, 1924), publicações
  • Edmund Taylor Whittaker (1910). «A history of the theories of aether and electricity» (em inglês): 441 
  • Alfred Robb (1911). Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity (em inglês). Cambridge: Heffner & Sons 
  • Émile Borel (1913), La théorie de la relativité et la cinématique (em francês), Comptes rendus de l'Académie des Sciences, volume 156, páginas 215 – 218; volume 157, páginad 703 – 705, Paris
  • Silberstein, Ludwik (1914). The theory of relativity (em inglês). Londres: Macmillan & Co. 
  • Vladimir Karapetoff (1936), "Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities" (em inglês), American mathematical monthly, volume 43, página 70.
  • Frank Morley (1936), "When and where" (em inglês), The criterion (em inglês), editado por Thomas Stearns Eliot, volume 15, páginas 200 – 209.
  • Wolfgang Rindler (2001), Relativity: Special, general, and cosmological (em inglês), página 53, Oxford university press.
  • Ronald Shaw (1982), Linear algebra and group representations (em inglês), volume 1, página 229, Academic press [en] ISBN 0-12-639201-3.
  • Scott Walter (1999). «The non-Euclidean style of Minkowskian relativity» (PDF). In: Jeremy John Gray. The symbolic universe: Geometry and physics (em inglês). [S.l.]: Oxford university press. pp. 91 – 127. Consultado em 8 de janeiro de 2009. Arquivado do original (PDF) em 16 de outubro de 2013  (ver página 17 do e-link)
  • Rhodes, J. A.; Semon, M. D. (2004). «Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession». American journal of physics (em inglês). 72 (7): 93 – 90. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. arXiv:gr-qc/0501070Acessível livremente. doi:10.1119/1.1652040 
  • John David Jackson (1999) [1962]. «capítulo 11». Classical electrodynamics (em inglês) 3ª ed. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X