Produto de Cauchy

Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas séries formais (isto é, não necessariamente convergentes) de números reais ou complexos. O produto de Cauchy de duas sequências ( a n ) n ≥ 0 {\displaystyle \textstyle (a_{n})_{n\geq 0}} , ( b n ) n ≥ 0 {\displaystyle \textstyle (b_{n})_{n\geq 0}} , é a convolução discreta das duas sequências, a sequência ( c n ) n ≥ 0 {\displaystyle \textstyle (c_{n})_{n\geq 0}} cujo termo geral é dado por

c n = ∑ k = 0 n a k b n − k . {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}

Em outras palavras, é a sequência cuja associada série de potência formal ∑ n = 0 ∞ c n X n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}} é o produto das duas séries semelhantemente associadas a ( a n ) n ≥ 0 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}} e ( b n ) n ≥ 0 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 0}} .

Séries

∑ n = 0 ∞ a n , ∑ n = 0 ∞ b n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}

é definido mediante uma convolução discreta:

( ∑ n = 0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n ) = ∑ n = 0 ∞ c n , d o n d e   c n = ∑ k = 0 n a k b n − k {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},\qquad \mathrm {donde} \ c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}

para n = 0, 1, 2, …

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

∑ n = 0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}

seja igual ao produto

( ∑ n = 0 ∞ a n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ) {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas séries existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.


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