Polígono regular

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados iguais (equilátero) e todos os seus ângulos iguais (equiângulo), sejam eles internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

• 
  Triângulo equilátero
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  Quadrado
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  Pentágono regular
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  Hexágono regular
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  Heptágono regular
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  Octógono regular
• 
  Eneágono regular
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  Decágono regular

Formulário

Para um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados, e medida de lado ${\displaystyle l}$:

Soma dos Ângulos Internos (S_i)

A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em ${\displaystyle n-2}$ triângulos,^[1] cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se ${\displaystyle S_{i}}$ A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a 180ºx(n-2)

${\displaystyle S_{i}={(n-2).180^{\circ }}}$

ou, em radianos,

${\displaystyle S_{i}={(n-2)\pi }}$

Ângulos Internos

Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Em um polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados é:

${\displaystyle A_{i}=180-360n^{-1}}$

Ângulos Externos

São os suplementos dos ângulos internos:

${\displaystyle A_{e}=180^{\circ }-A_{i}={360^{\circ } \over n}}$

ou, em radianos:

${\displaystyle A_{e}={2\pi \over n}}$

Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º. A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono convexo (em que só pode traçar ligas por dentro do polígono) é igual a 360º.

Raio

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência circunscrita ao polígono.

${\displaystyle r={l \over 2.\cos(A_{i}/2)}}$

${\displaystyle r={l \over 2.\operatorname {sen}(\pi /n)}={l \over 2.\operatorname {sen}(180^{\circ }/n)}}$

Apótema (a)

Distancia do ponto médio do segmento do polígono circunscrito até o centro da circunferência. (formando 90°)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

${\displaystyle a={\sqrt {r^{2}-l^{2}/4}}}$

ou

${\displaystyle a={r.\operatorname {sen}(A_{i}/2)}\,\;}$

ou

${\displaystyle a={r.\cos(\pi /n)}={r.\cos(180^{\circ }/n)}}$

ou

${\displaystyle a={l.\tan(A_{i}/2) \over 2}}$

ou

${\displaystyle a={l \over 2.\tan(\pi /n)}={l \over 2.\tan(180^{\circ }/n)}}$

Altura (h)

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

• Se n é par:

${\displaystyle h={2.a}\,\;}$

• Se n é ímpar:

${\displaystyle h={r+a}\,\;}$

No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:

${\displaystyle h={3.a}\,\;}$

Diagonais

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).

Diagonal principal (d_p)

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

• Se n é par:

${\displaystyle d_{p}={2.r}\,\;}$

Maior diagonal (d _> )

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

• Se n é ímpar e maior que 3:

${\displaystyle d_{>}={h \over \operatorname {sen}[{\frac {A_{i}.(n-1)}{2.(n-2)}}]}}$

Menor diagonal (d _< )

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

• Para n maior que 3:

${\displaystyle d_{<}={l.\operatorname {sen}(A_{i}) \over \operatorname {sen}[{\frac {A_{i}}{(n-2)}}]}}$

Número de diagonais (Nd)

${\displaystyle Nd={n.(n-3) \over 2}}$

Número de diagonais de um único vértice

O número de diagonais que se pode obter de um vértice é

${\displaystyle N_{d}=({n-3})}$

Perímetro (2p)

Soma da medida dos lados.

${\displaystyle 2P={n.l}\,\;}$

Semiperímetro (p)

Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica

${\displaystyle p={n.l \over 2}}$

Área (A)

Superfície ocupada pelo polígono.

${\displaystyle A={\frac {n.l^{2}}{4.\tan(\pi /n)}}={\frac {n.l^{2}}{4.\tan(180^{\circ }/n)}}}$

ou

${\displaystyle A={n.l.a \over 2}}$

${\displaystyle A=p.a}$

Circunferência circunscrita

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

Comprimento (L_circ)

${\displaystyle L_{circ}={2.\pi .r}\,\;}$

ou

${\displaystyle L_{circ}={\pi .l \over \operatorname {sen}(\pi /n)}={\pi .l \over \operatorname {sen}(180^{\circ }/n)}}$

Área (A_circ)

${\displaystyle A_{circ}={\pi .r^{2}}\,\;}$

ou

${\displaystyle A_{circ}={\pi .l^{2} \over 4.\operatorname {sen} ^{2}(\pi /n)}={\pi .l^{2} \over 4.\operatorname {sen} ^{2}(180^{\circ }/n)}}$

Circunferência Inscrita

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

Comprimento (L_ins)

${\displaystyle L_{ins}={2.\pi .a}\,\;}$

ou

${\displaystyle L_{ins}={\pi .l \over \tan(\pi /n)}={\pi .l \over \tan(180^{\circ }/n)}}$

Área (A_ins)

${\displaystyle A_{ins}={\pi .a^{2}}\,\;}$

ou

${\displaystyle A_{ins}={\pi .l^{2} \over 4.\tan ^{2}(\pi /n)}={\pi .l^{2} \over 4.\tan ^{2}(180^{\circ }/n)}}$

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:

${\displaystyle \Delta A_{\circ }=A_{circ}-A_{ins}={\pi .l^{2} \over 4}}$

Referências

• Portal da matemática
• Portal da geometria