Paradoxo de Banach–Tarski

O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.

O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:

Sejam ${\displaystyle X\,}$ e ${\displaystyle Y\,}$ dois subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,}$ que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor ${\displaystyle X\,}$ e ${\displaystyle Y\,}$ em partições finitas ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\}\,}$ e ${\displaystyle \{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\}\,}$ tal que cada ${\displaystyle X_{i}\,}$ é congruente a cada ${\displaystyle Y_{i}\,}$.^[1]

Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.

Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra-intuitivas.

Esboço da demonstração

A demonstração se baseia na construção de duas matrizes ${\displaystyle 3\times 3}$. Uma destas matrizes, ${\displaystyle \psi }$ é uma rotação de ${\displaystyle 120^{\circ }}$ em torno do eixo ${\displaystyle z}$, e a outra matriz, ${\displaystyle \varphi }$, corresponde à reflexão sobre o plano ${\displaystyle xz}$ seguida de uma rotação de um ângulo ${\displaystyle \theta }$ em torno do eixo ${\displaystyle y}$. A primeira matriz ${\displaystyle \psi }$ é tal que seu cubo é a matriz identidade, e a segunda é tal que seu quadrado é a identidade. Assim, cada elemento do grupo gerado por estas duas matrizes pode ser escrito como uma sequência finita de produtos da segunda matriz pela primeira matriz (${\displaystyle \psi }$) ou pelo quadrado da primeira matriz (${\displaystyle \varphi ^{2}}$).^[1] Caso o ângulo ${\displaystyle \theta }$ seja tal que seu cosseno seja um número transcendente, então a representação de cada elemento deste grupo é única.^[1]

Este grupo de matrizes ${\displaystyle G}$ pode ser decomposto em três conjuntos, ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$e ${\displaystyle G_{3},}$ com a propriedade que ${\displaystyle g\,}$ é um elemento de ${\displaystyle G_{1}}$ se, e somente se, ${\displaystyle \psi \,g}$ é um elemento de ${\displaystyle G_{2}\,}$e ${\displaystyle \psi ^{2}\,g\,}$é um elemento de ${\displaystyle G_{3}}$. Estes conjuntos, que são compostos de rotações e reflexões, portanto transformam um conjunto de pontos em outro conjunto congruente, são usados para decompor uma esfera em uma partição${\displaystyle \{P,S_{1},S_{2},S_{3}\}}$, em que ${\displaystyle P\,}$ é um conjunto enumerável e as outras parcelas se relacionam através da rotação ${\displaystyle \varphi }$ e da matriz ${\displaystyle \varphi }$:^[1]

${\displaystyle \varphi (S_{1})=S_{2}\cup S_{3}\,}$

${\displaystyle \psi (S_{1})=S_{2}\,}$

${\displaystyle \psi ^{2}(S_{1})=S_{3}\,}$

Esta decomposição faz-se definindo-se classes de equivalência entre os elementos da esfera (excluindo o conjunto enumerável ${\displaystyle P}$) como ${\displaystyle x\sim y\,}$ quando existe algum elemento ${\displaystyle g\,}$ do grupo de matrizes tal que ${\displaystyle g(x)=y\,}$, e escolhendo-se o conjunto ${\displaystyle C\,}$com um elemento de cada classe de equivalência. Este passo requer uso do axioma da escolha. Cada conjunto ${\displaystyle S_{i}\,}$é obtido a partir de ${\displaystyle C\,}$através de elementos dos conjuntos de matrizes ${\displaystyle G_{i}}$, ou seja, ${\displaystyle S_{i}=G_{i}(C)\,}$.^[1]

Referências

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