Número de Prandtl turbulento

O número de Prandtl turbulento ( P r t {\displaystyle Pr_{t}} ) é um termo adimensional definido como a razão entre o momento difusividade turbulenta e a difusividade turbulenta de transferência de calor. É útil para resolver o problema da transferência de calor por convecção de fluxos de camada limite turbulenta. O mais simples modelo para P r t {\displaystyle Pr_{t}} é a analogia de Reynolds, a qual resulta um número de Prandtl turbulento de 1. De dados experimentais, P r t {\displaystyle Pr_{t}} tem uma média de 0,85 , mas varia de 0,7 a 0,9 dependendo do número de Prandtl do fluido em questão.

Definição

A introdução da difusividade turbulenta e subsequentemente o número de Prandtl turbulento funciona como um meio de se definir uma relação simples entre a tensão extra de cisalhamento e fluxo de calor que está presente em um fluxo turbulento. Se o momento e coeficientes de difusão térmica são nulos (sem tensão de cisalhamento aparente e fluxo de calor turbulento), então as equações de fluxo turbulento reduzem-se a equações laminares. Podemos definir os coeficientes de difusão para a transferência de momento ϵ M {\displaystyle \epsilon _{M}} e transferência de calor

ϵ H {\displaystyle \epsilon _{H}} as
− u ′ v ′ ¯ = ϵ M ∂ u ¯ ∂ y {\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\epsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}} and − v ′ T ′ ¯ = ϵ H ∂ T ¯ ∂ y {\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\epsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}

onde − u ′ v ′ ¯ {\displaystyle -{\overline {u'v'}}} é a tensão de cisalhamento turbulento aparente e − v ′ T ′ ¯ {\displaystyle -{\overline {v'T'}}} é o fluxo de calor turbulento aparente.
O número de Prandtl turbulento é então definido como

P r t = ϵ M ϵ H . {\displaystyle Pr_{t}={\frac {\epsilon _{M}}{\epsilon _{H}}}.}

Aplicação

A equação da camada limite de momento turbulento:

u ¯ ∂ u ¯ ∂ x + v ¯ ∂ u ¯ ∂ y = − 1 ρ d P ¯ d x + ∂ ∂ y [ ( ν ∂ u ¯ ∂ y − u ′ v ′ ¯ ) ] . {\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}

A equação da camada limite térmica turbulenta,

u ¯ ∂ T ¯ ∂ x + v ¯ ∂ T ¯ ∂ y = ∂ ∂ y ( α ∂ T ¯ ∂ y − v ′ T ′ ¯ ) . {\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).}

Substituindo as difusividades turbulentas nas equações de momento e térmica obtem-se

u ¯ ∂ u ¯ ∂ x + v ¯ ∂ u ¯ ∂ y = − 1 ρ d P ¯ d x + ∂ ∂ y [ ( ν + ϵ M ) ∂ u ¯ ∂ y ] {\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\epsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}

e

u ¯ ∂ T ¯ ∂ x + v ¯ ∂ T ¯ ∂ y = ∂ ∂ y [ ( α + ϵ H ) ∂ T ¯ ∂ y ] . {\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\epsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}

Substituindo na equação termal usando a definição do número de Prandtl turbulento, tem-se

u ¯ ∂ T ¯ ∂ x + v ¯ ∂ T ¯ ∂ y = ∂ ∂ y [ ( α + ϵ M P r t ) ∂ T ¯ ∂ y ] . {\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\epsilon _{M}}{Pr_{t}}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}

Consequências

No caso especial onde o número de Prandtl e número de Prandtl turbulento são ambos iguais a um (como na analogia de Reynolds), os perfis de velocidade e temperaturas são idênticos. Isso simplifica bastante a solução do problema de transferência de calor.[1] Se o número de Prandtl e o número de Prandtl turbulento não são iguais a um, a solução ainda é simplificada, porque por conhecer-se as propriedades do fluido, mas apenas a difusividade turbulenta de momento, ainda se pode resolver o momento e as equações térmicas.

Em um caso geral de turbulência tri-dimensional, o conceito de viscosidade turbulenta e difusividade turbulenta não são válidos. Consequentemente, o número de Prandtl turbulento não tem nenhum significado.[2]

Referências

  1. ↑ Atila P. Silva Freire, Anderson Ilha, Marcelo J. Colaço; Turbulência: Anais da V Escola de Primavera em Transição e Turbulência; Rio de Janeiro, 25 a 29 de setembro de 2006; ISBN (10 díg.): 85-85769-24-6; ISBN (13 díg.): 978-85-85769-24-6
  2. ↑ William M. Kays; Turbulent Prandtl Number—Where Are We?[ligação inativa]; J. Heat Transfer, May 1994, Volume 116, Issue 2, 284 (12 pages); doi:10.1115/1.2911398
  • Kays, William; Crawford, M., Weigand, B. (2005). Convective Heat and Mass Transfer, Fourth Edition. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0072468762  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

Ver também

  • Portal da matemática
  • Portal da química