Monômio

Um monómio (ou monômio, em português do Brasil) é a forma mais simples de expressão algébrica, é um polinómio que contém apenas um termo.[1]

Monómios com uma variável

Sendo x {\displaystyle x} a variável, o monómio pode ser da seguinte forma:

a   x n {\displaystyle a\ x^{n}}

Onde a {\displaystyle a} é um coeficiente, qualquer número real, constante, e n {\displaystyle n} um qualquer número natural, denominado grau do monómio.

O grau do monómio é zero se for constante, porque a = a x 0 {\displaystyle a=ax^{0}} (sendo considerado que não tem grau se a constante for zero).[2]

Outros exemplos

Quando o coeficiente é unitário ( a = 1 ) {\displaystyle (a=1)} os monómios podem ser da seguinte forma:

x ,   x 2 ,   x 3 ,   . . . , {\displaystyle x,\ x^{2},\ x^{3},\ ...,}
etc.

Incluindo um coeficiente multiplicativo antes, podemos ter:

2 x ,   − 0.3 x ,   5 3 x 3 ,   − 6 x 3 ,   . . . , {\displaystyle 2x,\ -0.3x,\ {\frac {5}{3}}x^{3},\ -6x^{3},\ ...,}
etc.

(os dois primeiros têm grau 1, os dois seguintes têm grau 3).

Monómios com duas ou mais variáveis

Considerando duas variáveis x , y , {\displaystyle x,y,} os monómios podem ter a forma:

a   x n y m {\displaystyle a\ x^{n}y^{m}}

Onde a {\displaystyle a} é um qualquer número real, e n , m {\displaystyle n,m} são quaisquer naturais (podem ser zero).

Neste caso, o grau do monómio é habitualmente tomado pela soma n + m . {\displaystyle n+m.}

No entanto, considera-se ainda o seu grau máximo: max { n , m } . {\displaystyle \max\{n,m\}.}

Exemplos com duas variáveis

Exemplos de monômios com duas variáveis são

x 2 y ,   7 x y 2 ,   2 x 3 ,   − 6 y 3 , {\displaystyle x^{2}y,\ 7xy^{2},\ 2x^{3},\ -6y^{3},}

e todos estes monómios têm grau 3.

Observação

Importa distinguir o que é constante, do que é variável. Se y {\displaystyle y} for constante então

7 x y 2 {\displaystyle 7xy^{2}}

É um monómio apenas em x {\displaystyle x} e tem grau 1 (a parte y 2 {\displaystyle y^{2}} junta-se à constante, e o coeficiente passa a ser 7 y 2 {\displaystyle 7y^{2}} ).

Com mais variáveis

Considerando m variáveis x 1 ,   , x 2 ,   . . . ,   x m , {\displaystyle x_{1},\ ,x_{2},\ ...,\ x_{m},} os monómios podem ter a forma[1]

a   x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x m n m {\displaystyle a\ x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{m}^{n_{m}}}

Onde a {\displaystyle a} é um qualquer número real, e n 1 ,   . . . , n m {\displaystyle n_{1},\ ...,n_{m}} são quaisquer naturais (podem ser zero).

  • o grau do monómio é dado pela soma das potências: n 1 + ⋯ + n m . {\displaystyle n_{1}+\cdots +n_{m}.}
  • o seu grau máximo é dado pelo máximo das potências: max { n 1 , … , n m } . {\displaystyle \max\{n_{1},\ldots ,n_{m}\}.}

Polinómios

Ver artigo principal: Polinômio

Um polinómio é uma soma de monómios.

O grau de um polinómio é o maior grau dos seus monómios.

Por exemplo, o polinómio

1 − 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x {\displaystyle 1-2x^{3}+4x^{2}-5x}

é composto de 4 monómios, e terá grau 3, pois o monómio com maior grau é : − 2 x 3 {\displaystyle -2x^{3}}

Num caso em que as variáveis são x , y , z {\displaystyle x,y,z} e usamos constantes a , b , c , {\displaystyle a,b,c,} o polinómio

a − 2 b x 3 y + 4 c 3 x z − 5 x y z {\displaystyle a-2bx^{3}y+4c^{3}xz-5xyz}

tem grau 4, que resulta de − 2 b x 3 y {\displaystyle -2bx^{3}y} ser o monómio com maior grau (3 em x mais 1 em y).

(Note-se que 4 c 3 x z {\displaystyle 4c^{3}xz} não tem grau 5 porque c 3 {\displaystyle c^{3}} é constante, e assim esse monómio tem apenas grau 2)

Generalizações

Aqui foi considerado o caso habitual em que os polinómios são definidos no corpo dos números reais, não diferindo nada do caso do corpo dos números complexos, ou ainda de outros corpos mais abstratos.

Ligações externas

  • Encyclopedia of Mathematics (Springer) "Monomial"

Referências

  1. ↑ a b Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Monomial», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  2. ↑ Barbeau, E. J. (3 de novembro de 2003). Polynomials. [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387406275  (Ou considera-se, por convenção, que tem grau − ∞ {\displaystyle -\infty } )