Matriz de Transição de Estados

Na teoria de controle, a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado ${\displaystyle x}$ em um momento inicial ${\displaystyle t_{0}}$ permite obter ${\displaystyle x}$ após um tempo ${\displaystyle t}$, permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.

A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$ ,

Onde ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ são os estados do sistema, ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ é o sinal de entrada, ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ são funções de matriz, e ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ é a condição inicial em ${\displaystyle t_{0}}$ . Usando a matriz de transição de estado ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$, a solução é dada por:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .

Série Peano – Baker

A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.^[2]

Outras propriedades

A matriz de transição de estado ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ satisfaz os seguintes relacionamentos:

1 É contínuo e possui derivados contínuos.

2, nunca é singular; de fato ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$ e ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$, Onde ${\displaystyle I}$ é a matriz de identidade.

3 - ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=I}$ para todos ${\displaystyle t}$ .^[3]

4 - ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$ para todos ${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$ .

5 Satisfaz a equação diferencial ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ com condições iniciais ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I}$ .

6 A matriz de transição de estado ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$, dado por

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

onde o ${\displaystyle n\times n}$ matriz ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ é a matriz de solução fundamental que satisfaz

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$ com condição inicial ${\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=I}$ .

7 Dado o estado ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ a qualquer momento ${\displaystyle \tau }$, o estado em qualquer outro momento ${\displaystyle t}$ é dado pelo mapeamento

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

Estimativa da matriz de transição de estado

No caso invariante no tempo, podemos definir ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$, usando a matriz exponencial, como ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$ .

No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial ${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$ com condições iniciais ${\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}$ dado por ${\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$, ${\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$ ,. . ., ${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}$ . As soluções correspondentes fornecem o ${\displaystyle n}$ colunas de matriz ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ . Agora, da propriedade 4, ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}$ para todos ${\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}$ . A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.

Ver também

• Expansão Magnus
• Fórmula de Liouville

Referências

• Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159 
• Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-589763-7