Média e covariância amostrais

A média amostral ou média empírica e a covariância amostral são cálculos de estatística feitos a partir de uma coleta de dados em uma ou mais variáveis aleatórias. A média amostral é um vetor onde cada um dos elementos é a média da amostra de uma das variáveis aleatórias, ou seja, cada um dos elementos é a média aritmética dos valores observados de uma das variáveis. A matriz da covariância de amostra é quadrada, cujo i, j elemento é a covariância da amostra (uma estimativa da covariância da população ) entre os conjuntos de valores observados de duas das variáveis e cujo i, i elemento é a variância da amostra de valores observados de uma das variáveis . Se apenas uma variável teve valores observados , em seguida, a média da amostra é um único número (a média aritmética dos valores observados para a variável) e a matriz da covariância de amostra é simplesmente um único valor (a variância da amostra de valores observados de que variável).

Média amostral

Seja ${\displaystyle x_{ij}}$ a i-ésima observação desenhada independentemente (i=1,...,N) no j^th. Estas observações podem ser organizadas em N vetores coluna, cada um com entradas K e com K × 1 vetor coluna dando a i^th observações de todas as variáveis sendo denotado ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ (i=1,...,N).

A média do vetor da amostra ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$ é um vetor coluna cujo j ^th elemento ${\displaystyle {\bar {x}}_{j}}$ é o valor médio das observações N da j ^th da variável:

${\displaystyle {\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.}$

Assim, a média amostral do vetor contém a média das observações para cada variável, e é escrita:

${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}.}$

Covariância amostral

A matriz da covariância amostral é definida por K-x - K matriz ${\displaystyle \textstyle \mathbf {Q} =\left[q_{jk}\right]}$ com entradas:

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right),}$

Onde, ${\displaystyle q_{jk}}$ é a estimativa da covariância entre a variável j^th e o k^th variável da população subjacente aos dados.

Em termos dos vetores de observação, a covariância da amostra é:

${\displaystyle \mathbf {Q} ={1 \over {N-1}}\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} },}$

Por outro lado, organizando os vetores de observação como as colunas de uma matriz, de modo que

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\dots &\mathbf {x} _{N}\end{bmatrix}}}$,

que é uma matriz de linhas K e colunas N. Assim, a matriz de covariância de amostra pode ser calculada com:

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })(\mathbf {F} -\mathbf {\bar {x}} \,\mathbf {1} _{N}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$,

onde, ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ é o “N” por 1 do vetor.

Se as observações são dispostas como as linhas, em vez de colunas, de modo que ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$ é agora um 1 × K vetor linha e ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }}$ > é uma matriz × K N' j cuja coluna é o vetor de observações n na variável “j”, em seguida, transpomos os lugares rendimentos apropriados:

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {1}{N-1}}(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} )^{\mathrm {T} }(\mathbf {M} -\mathbf {1} _{N}\mathbf {\bar {x}} ).}$

Discussão

A média amostral e a matriz de covariância amostral são estimativas imparciais da média e a matriz de covariância do vetor aleatório ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ , um vetor linha cujos j ^th elemento (j = 1, ..., K) é uma das variáveis aleatórias.^[1] A matriz da covariância da amostra tem ${\displaystyle \textstyle N-1}$ no denominador, em vez de ${\displaystyle \textstyle N}$ devido a uma variação na função de Bessel: Em suma, a covariância da amostra baseia-se na diferença entre cada observação e a média amostral, mas a média amostral é correlacionada com cada observação. Se a média da população ( ${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )}$ )é conhecida, a estimativa imparcial análoga

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),}$ usando a média da população , temos ${\displaystyle \textstyle N}$ no denominador.

Este é um exemplo do por que em probabilidade e estatística é essencial distinguir variável aleatória (letras maiúsculas) e o valor observado das variáveis aleatórias (letras minúsculas).

O valor máximo estimado

${\displaystyle q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right)}$

para a distribuição Gaussiana caso tem N no denominador também. A proporção de 1 / N a 1 / ( N- 1 ) se aproxima de 1 para grande N , de modo que a estimativa máxima da probabilidade é aproximadamente igual à estimativa imparcial quando o amostra é grande.

Variância da média amostral

Para cada variável aleatória, a média amostral é um bom estimador da média da população , onde um "bom" estimador é definido como sendo eficiente e imparcial. Claro que o estimador provavelmente não será o verdadeiro valor da população significa que diferentes amostras retiradas da mesma distribuição dará diferentes médias amostrais e, portanto, diferentes estimativas da média verdadeira. Assim, a média amostral é uma variável aleatória, não uma constante e, consequentemente, tem a sua própria distribuição. Para uma amostra aleatória de observações n no “j ^th variável aleatória , a própria distribuição da média amostral tem média igual à média da população ${\displaystyle E(X_{j})}$ e variância igual a ${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}^{2}}{N}},}$, onde ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}}$ é a variância da variável aleatória “X” _j.

Amostras ponderadas

Numa amostra ponderada, para cada vetor ${\displaystyle \textstyle {\textbf {x}}_{i}}$ (cada conjunto de observações individuais em cada um dos K variáveis aleatórias) é atribuído um peso ${\displaystyle \textstyle w_{i}\geq 0}$. Sem perda de generalidade, suponha que os pesos são constantes normais:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(Se eles não estiverem, dividir os pesos por sua soma). Em seguida, o vetor ponderado ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\bar {x}} }$ é dado pela

${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

E os elementos ${\displaystyle q_{jk}}$ da matriz de covariância ponderada ${\displaystyle \textstyle \mathbf {Q} }$ são ^[2]

${\displaystyle q_{jk}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{ij}-{\bar {x}}_{j}\right)\left(x_{ik}-{\bar {x}}_{k}\right).}$

Se todos os pesos são os mesmos , ${\displaystyle \textstyle w_{i}=1/N}$, a média ponderada e covariância reduzir para a média amostral e covariância acima.

Crítica

A média amostral e covariância de amostra são amplamente utilizados em estatísticas e aplicações, e são medidas extremamente comuns de localização e dispersão, respectivamente, provavelmente o mais comum: eles são facilmente calculado e possuir características desejáveis.

No entanto, eles sofrem de certos inconvenientes; nomeadamente, eles não são estatísticas robustas, o que significa que eles são sensivelmente discrepantes. Como robustez é muitas vezes uma característica desejada, particularmente em aplicações do mundo real, alternativas robustas pode revelar-se desejável , nomeadamente estatísticas quantis baseadas na mediana da amostra para localização, ,^[3] e intervalo interquartil (IQR) para dispersão. Outras alternativas incluem corte e Winsorising.

Referências

• Portal de probabilidade e estatística