Lema de Urysohn

O lema de Urysohn é um importante resultado em matemática, mais especificamente em topologia; demonstrado pela primeira vez pelo matemático russo Pavel Samuilovich Urysohn, afirma que se um espaço topológico é normal, então quaisquer fechados disjuntos em tais espaços podem ser separados por uma função.

Enunciado

O enunciado do Lema de Urysohn, provado pelo próprio em 1925, diz que se ${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$ é um espaço topológico normal; dados os ${\displaystyle \tau }$-fechados e disjuntos ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, existe uma função contínua ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ tal que ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ e ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}}$. Tal função é chamada função de Urysohn

Demonstração

Considere o conjunto ${\displaystyle S}$ dos racionais em ${\displaystyle [0,1]}$, isto é

${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} =\{s_{0}=0,s_{1}=1,\dots ,s_{n},\dots \}.}$

Dados os fechados ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, definimos uma seqüência de abertos indexados em ${\displaystyle S}$ tais que

${\displaystyle U_{s_{i}}\subseteq U_{s_{j}}}$

sempre que ${\displaystyle s_{i}<s_{j}}$, para quaisquer ${\displaystyle i,j\in \omega }$. Para isso, tome o aberto ${\displaystyle X\setminus B}$. Como ${\displaystyle X}$ é normal, existe um aberto ${\displaystyle U_{0}}$ tal que

${\displaystyle A\subseteq U_{0}\subseteq {\overline {U}}_{0}\subseteq X\setminus B.}$

Defina ${\displaystyle U_{s_{1}}=X\setminus B}$. Tome ${\displaystyle s_{2}\in S\setminus \{0,1\}}$, temos que ${\displaystyle 0<s_{2}<1}$. Portanto podemos escolher um ${\displaystyle \tau }$-aberto ${\displaystyle U_{s_{2}}}$ tal que

${\displaystyle {\overline {U}}_{0}\subseteq U_{s_{2}}\subseteq {\overline {U}}_{s_{2}}\subseteq U_{1}.}$

Assim, seja ${\displaystyle s_{3}\in S\setminus \{0,1,s_{2}\}}$ e tome ${\displaystyle q_{3}=\max\{x\in \{0,1,s_{2}\}:x<s_{3}\}}$ e ${\displaystyle r_{3}=\min\{x\in \{0,1,s_{2}\}:s_{3}<x\}}$. Assim, novamente pela normalidade do espaço, podemos escolher um ${\displaystyle \tau }$-aberto ${\displaystyle U_{s_{3}}}$ tal que

${\displaystyle {\overline {U}}_{q_{3}}\subseteq U_{s_{3}}\subseteq {\overline {U}}_{s_{3}}\subseteq U_{r_{3}}.}$

Procedemos, analogamente, por indução. Suponha, pelo bem da demonstração, que já estejam escolhidos os ${\displaystyle \tau }$-abertos ${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{s_{n}}}$, para algum ${\displaystyle n\in \omega }$. Tome ${\displaystyle s_{n+1}\in S\setminus \{0,1,s_{2},\dots ,s_{n}\}}$ e defina ${\displaystyle q_{n+1}=\max\{x\in \{0,1,s_{2},\dots ,s_{n}\}:x<s_{n+1}\}}$ e ${\displaystyle r_{n+1}=\min\{x\in \{0,1,s_{2},\dots ,s_{n}\}:s_{n+1}<x\}}$. Podemos, portanto, escolher um ${\displaystyle \tau }$-aberto ${\displaystyle U_{s_{n+1}}}$ tal que

${\displaystyle {\overline {U}}_{q_{n+1}}\subseteq U_{s_{n+1}}\subseteq {\overline {U}}_{s_{n+1}}\subseteq U_{r_{n+1}}.}$

Assim procedemos até o primeiro ordinal transfinito ${\displaystyle \omega }$. Com isso, dispondo da família ${\displaystyle \langle U_{s_{n}}\rangle _{n\in \omega }}$ tal como acima, defina ${\displaystyle f:X\to [0,1],}$ dada por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\inf(\{r\in S:x\in U_{r}\}),&{\text{ se }}x\in U_{s_{1}}\\1,&{\text{ se }}x\not \in U_{s_{1}}\end{cases}}}$

É evidente que ${\displaystyle f}$ é contínua já que os intervalos do tipo ${\displaystyle [0,a[}$ e ${\displaystyle ]b,1]}$, com ${\displaystyle a,b\in [0,1]}$ formam uma sub-base de ${\displaystyle [0,1]}$ com a topologia de subspaço; temos, também, que ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ e ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}}$, o que conclui a demonstração.

A recíproca do lema de Urysohn também é válida; com efeito, tomemos os ${\displaystyle \tau }$-abertos

${\displaystyle U=f^{-1}([0,1/2[){\text{ e }}V=f^{-1}(]1/2,1]).}$

Temos que

${\displaystyle A\subseteq U,\;B\subseteq V,{\text{ e }}U\cap V=\emptyset .}$

Observações

Deve estar claro ao leitor que o passo da atribuição de um racional ao aberto, que satifaça a relação de inclusão, é feito mediante a admissão do Princípio da Escolha Dependente. Temos também que o Lema de Urysohn é não-demonstrável em ZF ^[1], mas é demonstrável em ZF + DC.

Vale salientar que a função de Urysohn depende dos fechados ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

Há quem diga que na matemática, os teoremas mais difíceis de provar são aqueles que envolvem "tirar um coelho da cartola", e a prova deste teorema é considerada por muitos matemáticos como um dos maiores coelhos que alguma vez foram tirados de alguma cartola.

Ver também

• Teorema da Extensão de Tietze-Urysohn
• Espaço Normal

Referências

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
• Pavel Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Mathematische Annalen, vol. 94 (1925), pp. 262-308.

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