Identidade de Parseval

Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh.^[1]

Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função,

onde os coeficientes de Fourier ${\displaystyle c_{n}}$ de ${\displaystyle f}$ são dados por

Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido ${\displaystyle f}$ é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].}$ Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),}$

Definição

Seja ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},{\hat {u}}_{2},...}$ um conjunto ortonormal de vetores em um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja ${\displaystyle {\hat {u}}}$ um vetor qualquer nesse espaço.^[2] Temos que,

${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle ({\hat {u}}\cdot {\hat {u_{k}}})^{2}=\mid \mid {\hat {u}}\mid \mid ^{2}}$

Essa expressão é a famosa igualdade de Parseval. A mesma expressão também pode ser usada indicando uma desigualdade, a chamada desigualdade de Bessel.^[3]

${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle ({\hat {u}}\cdot {\hat {u_{k}}})^{2}\leq \mid \mid {\hat {u}}\mid \mid ^{2}}$

No caso das séries de Fourier, essa igualdade é dada por

${\displaystyle \mid \mid f\mid \mid ^{2}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)^{2}dx={\frac {A_{0}}{2}}+\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (a_{k}^{2}+b_{k}^{2})}$

Teorema

Seja ${\displaystyle f}$uma função diferenciável continuamente por partes em [-π,π], então seu desenvolvimento em serie de Fourier converge pontualmente em [-π,π] e assume em ${\displaystyle x_{0}}$o valor ${\displaystyle {\frac {f(x_{o}^{+})+f(x_{o}^{-})}{2}}}$

Note que ao escrevermos a série de Fourier da função ${\displaystyle f}$ na forma abaixo estamos implicando que a série converge em média para ${\displaystyle f(x)}$.

${\displaystyle f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (A_{k}\cos(kx)+B_{k}\operatorname {sen}(kx))}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }||f-\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\displaystyle (A_{k}\cos(kx)+B_{k}\operatorname {sen}(kx))||\longrightarrow C}$

Entretanto, o teorema apresentado explicita as condições nas quais ocorre a convergência pontual. Ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função ${\displaystyle f(x)}$ entre [-π,π] diferenciável continuamente por partes converge para ${\displaystyle f(x_{0})}$quando ${\displaystyle x_{0}}$ é um ponto de continuidade da função em questão.

Referências

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